Question

对于某一函数给出如下定义：若存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p,则称p为这个函数的不变值.在函数存在不变值时,该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度.特别地,当函数只有一个不变值时,其不变长度q为零.例如：下图中的函数有0,1两个不变值,其不变长度q等于1.

(1)分别判断函数y=x-1，y=x^-1,y=x²有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度；

(2)函数y=2x²-bx.

①若其不变长度为零，求b的值；

②若1≤b≤3,求其不变长度q的取值范围；

(3) 记函数y=x²-2x(x≥m)的图象为G₁，将G₁沿x=m翻折后得到的函数图象记为G₂，函数G的图象由G₁和G₂两部分组成，若其不变长度q满足0≤q≤3,则m的取值范围为              .

Answer

详见解析.

【解析】试题（1）根据定义分别求解即可求得答案；

（2）①首先由函数y=2x2﹣bx=x，求得x（2x﹣b﹣1）=0，然后由其不变长度为零，求得答案；

②由①，利用1≤b≤3，可求得其不变长度q的取值范围；

（3）由记函数y=x2﹣2x（x≥m）的图象为G1，将G1沿x=m翻折后得到的函数图象记为G2，可得函数G的图象关于x=m对称，然后根据定义分别求得函数的不变值，再分类讨论即可求得答案．

试题解析：【解析】
（1）∵函数y=x﹣1，令y=x，则x﹣1=x，无解；

∴函数y=x﹣1没有不变值；

∵y=x-1 =，令y=x，则，解得：x=±1，∴函数的不变值为±1，q=1﹣（﹣1）=2．∵函数y=x2，令y=x，则x=x2，解得：x1=0，x2=1，∴函数y=x2的不变值为：0或1，q=1﹣0=1；

（2）①函数y=2x2﹣bx，令y=x，则x=2x2﹣bx，整理得：x（2x﹣b﹣1）=0．∵q=0，∴x=0且2x﹣b﹣1=0，解得：b=﹣1；

②由①知：x（2x﹣b﹣1）=0，∴x=0或2x﹣b﹣1=0，解得：x1=0，x2=．∵1≤b≤3，∴1≤x2≤2，∴1﹣0≤q≤2﹣0，∴1≤q≤2；

（3）∵记函数y=x2﹣2x（x≥m）的图象为G1，将G1沿x=m翻折后得到的函数图象记为G2，∴函数G的图象关于x=m对称，∴G：y= ．∵当x2﹣2x=x时，x3=0，x4=3；

当（2m﹣x）2﹣2（2m﹣x）=x时，△=1+8m，当△＜0，即m＜﹣时，q=x4﹣x3=3；

当△≥0，即m≥﹣时，x5=，x6=．

①当﹣≤m≤0时，x3=0，x4=3，∴x6＜0，∴x4﹣x6＞3（不符合题意，舍去）；

②∵当x5=x4时，m=1，当x6=x3时，m=3；

当0＜m＜1时，x3=0（舍去），x4=3，此时0＜x5＜x4，x6＜0，q=x4﹣x6＞3（舍去）；

当1≤m≤3时，x3=0（舍去），x4=3，此时0＜x5＜x4，x6＞0，q=x4﹣x6＜3；

当m＞3时，x3=0（舍去），x4=3（舍去），此时x5＞3，x6＜0，q=x5﹣x6＞3（舍去）；

综上所述：m的取值范围为1≤m≤3或m＜﹣．