Question

如图，已知抛物线与x轴负半轴相交于点A，与y轴正半轴相交于点B，，直线l过A、B两点，点D为线段AB上一动点，过点D作轴于点C，交抛物线于点 E．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若抛物线与x轴正半轴交于点F，设点D的横坐标为x，四边形FAEB的面积为S，请写出S与x的函数关系式，并判断S是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值；并写出此时点E的坐标；如果不存在，请说明理由．

（3）连接BE，是否存在点D，使得和相似？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）；（2）与x的函数关系式为，S存在最大值，最大值为18，此时点E的坐标为．（3）存在点D，使得和相似，此时点D的坐标为或．

【解析】

利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点A、B的坐标，结合即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论；

由点A、B的坐标可得出直线AB的解析式待定系数法，由点D的横坐标可得出点D、E的坐标，进而可得出DE的长度，利用三角形的面积公式结合即可得出S关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；

由、，利用相似三角形的判定定理可得出：若要和相似，只需或，设点D的坐标为，则点E的坐标为，进而可得出DE、BD的长度当时，利用等腰直角三角形的性质可得出，进而可得出关于m的一元二次方程，解之取其非零值即可得出结论；当时，由点B的纵坐标可得出点E的纵坐标为4，结合点E的坐标即可得出关于m的一元二次方程，解之取其非零值即可得出结论综上即可得出结论．

当时，有，

解得：，，

点A的坐标为．

当时，，

点B的坐标为．

，

，解得：，

抛物线的解析式为．

点A的坐标为，点B的坐标为，

直线AB的解析式为．

点D的横坐标为x，则点D的坐标为，点E的坐标为，

如图．

点F的坐标为，点A的坐标为，点B的坐标为，

，，，

．

，

当时，S取最大值，最大值为18，此时点E的坐标为，

与x的函数关系式为，S存在最大值，最大值为18，此时点E的坐标为．

，，

若要和相似，只需或如图．

设点D的坐标为，则点E的坐标为，

，

当时，，

，

，

为等腰直角三角形．

，即，

解得：舍去，，

点D的坐标为；

当时，点E的纵坐标为4，

，

解得：，舍去，

点D的坐标为．

综上所述：存在点D，使得和相似，此时点D的坐标为或．

故答案为：（1）；（2）与x的函数关系式为，S存在最大值，最大值为18，此时点E的坐标为．（3）存在点D，使得和相似，此时点D的坐标为或．