Question

如图，已知△ABC是等边三角形，D是AB边上任意一点，∠CDE=60°，DE与∠ABC外角平分线相交于点E.

(1)求证:CD=DE；

(2)若D是AB延长线上任意一点，∠CDE=60°，DE与∠ABC外角平分线相交于点E.请画出图形,判断CD=DE是否还成立?若成立,请给予证明；若不成立,请说明理由.

Answer

（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析.

【解析】

（1）过点D作DF//BC，交AC于F，由等边三角形的性质可得AF=AD，进而可得CF=BD，根据外角性质可知∠FCD+∠CDF=60°，由∠CDE=60°，∠ADF=60°可得∠CDF+∠EDB=60°，进而可得∠FCD=∠EDB，由BE是外角平分线可得∠CBE=60°，即可证明∠DBE=∠CFD=120°，即可证明△CFD≌△DEB，进而可得CD=DE；（2）过点D作DP//BC，交AC延长线于点P，由等边三角形及平行线性质可得CP=BD，根据外角性质可得∠PCD=∠A+∠ADC=60°+∠ADC，由∠BDE=∠CDE+∠ADC=60°+∠ADC可证明∠PCD=∠BDE，根据BE是外角平分线可得∠EBD=∠P=60°，即可证明△PCD≌△BDE，进而可得CD=DE.

（1）如图，过点D作DF//BC，交AC于F，

∵△ABC是等边三角形，DF//BC，

∴CF=BD，∠AFD=60°，

∴∠CFD=180°-60°=120°，

∵DE是外角平分线，

∴∠CBE=60°，

∴∠DBE=120°，

∴∠CFD=∠DBE，

∵∠FCD+∠CDF=∠AFD=60°，∠BDE+∠CDF=180°-∠ADF-∠CDE=180°-60°-60°=60°，

∴∠FCD=∠BDE，

∴△CFD≌△DEB，

∴CD=DE.

（2）过点D作DP//BC，交AC延长线于点P，

∵△ABC是等边三角形，DP//BC，

∴PC=BD，∠P=60°，

∵BE是外角平分线，

∴∠DBE=60°，

∴∠DBE=∠P，

∵∠PCD=∠A+∠ADC=60°+∠ADC，∠BDE=∠ADC+∠CDE=60°+∠ADC，

∴∠PCD=∠BDE，

∴△PCD≌△BDE，

∴CD=DE