Question

（给出定义）

数轴上顺次有三点A、C、B,若点C到点A的距离是点C到点B的距离的3倍,我们就称点C是(A、B)的“梦想点”例如:图①中,点A、B表示的数分别为-2、2,表示数1的点C是(A、B)的“梦想点”；图②中,点A、B表示对的数分别为-2、2，表示-1的点C是(B、A)的“梦想点.

（解决问题）

(1)若数轴上M、N两点所表示的数分别为且满足求出(M、N)的“梦想点”表示的数；

(2)如图③,在数轴上点A、B表示的数分别为-15和65,点P从点A出发沿数轴向右运动:

①若点P运动到点B停止,则当P、A、B中恰好有一个点为其余两个点的“梦想点”时,求这个点表示的数；

②若点P运动到B后,继续沿数轴向右运动的过程中,是否还存在点P、A、B中恰好有一个点为其余两点的“梦想点”的情况?若存在,请直接写出此时以PA、PB为邻边长的长方形的周长；若不存在,请说明理由.

Answer

（1）-1；

（2）①45或5；②存在，B是（A，P）的梦想点时，以PA、PB为邻边长的长方形的周长为 ；B是(P，A)的梦想点时，以PA、PB为邻边长的长方形的周长为640.

【解析】

（1）由绝对值的非负性求出m、n的值，然后设所求数为x，根据“梦想点”的定义列出方程，解方程即可；

（2）①根据“梦想点”的定义可知分2种情况：P为（A,B）的梦想点；P为(B，A)的梦想点. 设点P表示的数为y，根据梦想点的定义列出方程，进而得出P点表示的数；

②假设存在满足条件的点，根据“梦想点”的定义可知分2种情况：B是(A，P)的梦想点；B是(P，A)的梦想点．设点P表示的数为y，根据梦想点的定义列出方程，进而得出P点表示的数，进而求出长方形的周长即可.

（1）∵|m+7|+2|n-1|=0，

∴m=-7，n=1.

设所求数为x，由题意得

x−（-7）=3（1-x），

解得x=-1；

（2）①设点P表示的数为y，分两种情况：

P是（A，B）的梦想点，

由题意，得y-（-15）=3×（65-y），

解得y=45；

P是（B，A）的梦想点，

由题意，得65-y=3[y-（-15）]，

解得y=5；

故这个点P表示的数为45或5；

②B是（A，P）的梦想点，

由题意，得65−（-15）=3（y−65），

解得y=,

PA=65−（-15）=80，PB= −65= ，

此时以PA、PB为邻边长的长方形的周长为：2×（80+）= ；

B是(P，A)的梦想点，

由题意得y−65=3[65−（-15）]

y=305，

PA=65−（-15）=80，PB=305−65=240，

此时以PA、PB为邻边长的长方形的周长为:2×(80+240)=640.

若点P运动到B后,继续沿数轴向右运动的过程中,存在点P、A、B中恰好有一个点为其余两点的“梦想点”的情况，B是（A，P）的梦想点时，以PA、PB为邻边长的长方形的周长为 ；B是(P，A)的梦想点时，以PA、PB为邻边长的长方形的周长为640.