Question

如图，已知抛物线的顶点在第四象限，顶点到x轴的距离为3，抛物线与x轴交于原点O（0，0）及点A，且OA=4．  （1）求该抛物线的解析式；  （2）若线段OA绕点O顺时针旋转45°到OA′，试判断点A′是否在该抛物线上，并说明理由．

Answer

（1）（2）点A′不在该抛物线上，理由见解析.

【解析】

（1）首先求出抛物线的顶点坐标，设抛物线的解析式为y=a（x-2）2+3，由于抛物线经过原点，进而求出a的值即可；
（2）设点A′坐标为（x，y），先求出直线OA′的解析式，根据OA′=OA=4，求出点A′的坐标，进而判断点A′是否在该抛物线上．

【解析】
（1）根据题意可知：抛物线的顶点坐标为（2，-3），

设抛物线的解析式为y=a（x-2）2-3，

由于抛物线经过原点，

即4a-3=0，

解得a=．

故抛物线的解析式为y=（x-2）2-3；

（2）设点A′坐标为（x，y），

则直线OA′的解析式为y=-x①，

根据旋转的性质可知：OA′=OA=4，

即x2+y2=16②，

由①②可得x=2，y=-2，

即点A′坐标为（2，-2），

把点A′坐标为（2，-2）代入解析式y=（x-2）2-3；

-2≠（2-2）2-3，

即点A′不在该抛物线上．