Question

阅读题.

材料一：若一个整数m能表示成a²-b²(a,b为整数)的形式，则称这个数为“完美数”.例如，3=2²-1²，9=3²-0²，12=4²-2²，则3，9，12都是“完美数”；再如，M=x²+2xy=(x+y)²-y²,(x,y是整数),所以M也是”完美数”.

材料二：任何一个正整数n都可以进行这样的分【解析】
n＝p×q(p、q是正整数，且p≤q)．如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并且规定F(n)＝.例如18＝1×18＝2×9＝3×6，这三种分解中3和6的差的绝对值最小，所以就有F(18)＝.请解答下列问题：

(1)8______（填写“是”或“不是”）一个完美数，F(8)= ______.

(2)如果m和n都是”完美数”，试说明mn也是完美数”.

(3)若一个两位数n的十位数和个位数分别为x,y(1≤x≤9),n为“完美数”且x+y能够被8整除，求F(n)的最大值.

Answer

(1)是，；（2）说明见解析； (3).

【解析】

（1）利用“完美数”的定义可得；

（2）根据完全平方公式，可证明mn是“完美数”；

（3）两个一位数相加能被8整除,说明x+y=8或16, 这样可得正整数n为79,97,88,71,17,26,62,35,53,44共10种, 根据n为“完美数”可把n=26和n=62舍去，再根据n的最佳分解确定出F(n)的最大值.

(1) ）∵8=32-12

∴8是完美数,

F(8)==

故答案为:是, .

（2）设m=, n=,其中a,b,c,d均为整数,

则mn= ()()

=

=

∵a，b，c，d均为整数

∴ac+bd与ad+bc也是整数，即mn是“完美数”.

(3) ∵两个一位数相加能被8整除,

∴ x+y=8或16,

∴n=79或97或88或71或17或26或62或35或53或44,

∵n为“完美数”,

∴n=79或97或88或71或17或35或53或44,

其中F(79)=,F(97)= ,F(88)=, F(71)=, F(17)=, F(35)=, F(53)=, F(44)=,

∴F(n)的最大值为.