Question

如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E为射线BC上一动点(不与C重合)，△CDE的外接圆交AE于P，若CP＝CD，则AP的值为_____．

Answer

【解析】

连接PD，如图，利用圆周角定理证明∠EPD＝90°，∠CDP＝∠CED，再证明∠AEB＝∠CED，则可判断△ABE≌△DCE，所以BE＝CE＝BC＝3，再利用勾股定理计算出AE，然后证明Rt△ADP∽Rt△EAB，从而利用相似比可计算出AP的长．

连接PD，如图，

∵∠ECD＝90°，

∴DE为直径

∴∠EPD＝90°，

∵CP＝CD，

∴∠CDP＝∠CED，

∵∠AEB＝∠CDP，

∴∠AEB＝∠CED，

∵AB＝CD，∠B＝∠ECD，

∴△ABE≌△DCE，

∴BE＝CE＝BC＝3，

在Rt△ABE中，AE＝＝5，

∵AD∥BC，

∴∠BEA＝∠DAE，

∴Rt△ADP∽Rt△EAB，

∴，即，

∴AP＝，

故答案为：．