Question

如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O直径，D是的中点，过点D作CB的垂线，分别交CB、CA延长线于点F、E．

(1)判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)若sinE＝，求AB：EF的值．

Answer

(1)直线EF与圆O相切，理由见解析；(2)AB：EF=5：9.

【解析】

(1)先判断出∠CBA为直角，再判断出∠F为直角，进而得出AB与EF平行，再由D为的中点，利用垂径定理的逆定理得到OD垂直于AB，即可得出结论；

(2)根据角E的正弦值，设出OD＝OC＝OB＝OA＝5x，则得出CA＝10x，CE＝13x，进而得出CE＝18x，最后判断出△ABC∽△ECF即可得出结论．

(1)直线EF与圆O相切，理由为：

连接OD，如图所示：

∵AC为圆O的直径，

∴∠CBA＝90°，

又∵∠F＝90°，

∴∠CBA＝∠F＝90°，

∴AB∥EF，

∴∠AMO＝∠EDO，

又∵D为的中点，

∴，

∴OD⊥AB，

∴∠AMO＝90°，

∴∠EDO＝90°，

∵EF过半径OD的外端，

则EF为圆O的切线；

(2)在Rt△ODE中，sinE＝，

设OD＝OC＝OA＝5x，

∴CA＝10x，OE＝13x，

∴CE＝18x，

∵EF∥AB，

∴△ABC∽△ECF，

∴.