Question

如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝135°，将一个含45°角的直角三角尺的一个顶点放在点O处，斜边OM与直线AB重合，另外两条直角边都在直线AB的下方．

（1）将图1中的三角尺绕着点O逆时针旋转90°，如图2所示，此时∠BOM＝　   　；在图2中，OM是否平分∠CON？请说明理由；

（2）紧接着将图2中的三角板绕点O逆时针继续旋转到图3的位置所示，使得ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠CON之间的数量关系，并说明理由；

（3）将图1中的三角板绕点O按每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为　   　（直接写出结果）．

Answer

90°OM平分∠CON ∠AOM=∠CON (3) 4.5秒或40.5秒

【解析】

（1）利用旋转的性质可得∠BOM的度数，然后计算∠MOC的度数判断OM是否平分∠CON；

（2）利用∠AOM＝45°﹣∠AON和∠NOC＝45°﹣∠AON可判断∠AOM与∠CON之间的数量关系；

（3）ON旋转22.5度和202.5度时，ON平分∠AOC，然后利用速度公式计算t的值．

【解析】
（1）如图2，∠BOM＝90°，

OM平分∠CON．理由如下：

∵∠BOC＝135°，

∴∠MOC＝135°﹣90°＝45°，

而∠MON＝45°，

∴∠MOC＝∠MON；

故答案为90°；

（2）∠AOM＝∠CON．

理由如下：如图3，

∵∠MON＝45°，

∴∠AOM＝45°﹣∠AON，

∵∠AOC＝45°，

∴∠NOC＝45°﹣∠AON，

∴∠AOM＝∠CON；

（3）T＝×45°÷5°＝4.5（秒）或t＝（180°+22.5°）÷5°＝40.5（秒）．

故答案为90°；4.5秒或40.5秒．