Question

如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，点D、E都在边BC上，∠DAE=60°．若BD=2CE，则DE的长为_____．

Answer

3﹣3．

【解析】

将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，连接EF，过点E作EM⊥CF于点M，过点A作AN⊥BC于点N，由AB=AC=2、∠BAC=120°，可得出BC=6、∠B=∠ACB=30°，通过角的计算可得出∠FAE=60°，结合旋转的性质可证出△ADE≌△AFE（SAS），进而可得出DE=FE，设CE=2x，则CM=x，EM=x、FM=4x-x=3x、EF=ED=6-6x，在Rt△EFM中利用勾股定理可得出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将其代入DE=6-6x中即可求出DE的长．

将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，连接EF，过点E作EM⊥CF于点M，过点A作AN⊥BC于点N，如图所示，

，

∵AB=AC=2,∠BAC=120°，

∴BN=CN,∠B=∠ACB=30°，

在Rt△BAN中,∠B=30°,AB=2，

∴AN=AB=,BN= =3，

∴BC=6，

∵∠BAC=12°,∠DAE=60°，

∴∠BAD+∠CAE=60°，

∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=∠BAD+∠CAE=60°，

在△ADE和△AFE中,，

∴△ADE≌△AFE(SAS)，

∴DE=FE，

∵BD=2CE,BD=CF,∠ACF=∠B=30°，

∴设CE=2x,则CM=x,EM=x，FM=4x−x=3x，EF=ED=6−6x.

在Rt△EFM中,FE=6−6x,FM=3x,EM=x，

∴EF2=FM2+EM2，,即(6−6x)2=(3x)2+(x)2，

解得：x1=，x2= (不合题意,舍去)，

∴DE=6−6x=.

故答案为：.