Question

已知正方形ABCD的边长为2，作正方形AEFG（A，E，F，G四个顶点按逆时针方向排列），连接BE、GD，

（1）如图①，当点E在正方形ABCD外时，线段BE与线段DG有何关系？直接写出结论；

（2）如图②，当点E在线段BD的延长线上，射线BA与线段DG交于点M，且DG＝2DM时，求边AG的长；

（3）如图③，当点E在正方形ABCD的边CD所在的直线上，直线AB与直线DG交于点M，且DG＝4DM时，直接写出边AG的长．

Answer

（1）结论：BE＝DG，BE⊥DG．理由见解析；（2）AG＝2；（3）满足条件的AG的长为2或2．

【解析】

（1）结论：BE＝DG，BE⊥DG．只要证明△BAE≌△DAG（SAS），即可解决问题；

（2）如图②中，连接EG，作GH⊥AD交DA的延长线于H．由A，D，E，G四点共圆，推出∠ADO＝∠AEG＝45°，解直角三角形即可解决问题；

（3）分两种情形分别画出图形即可解决问题；

（1）结论：BE=DG，BE⊥DG．

理由：如图①中，设BE交DG于点K，AE交DG于点O．

∵四边形ABCD，四边形AEFG都是正方形，

∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，

∴∠BAE=∠DAG，

∴△BAE≌△DAG（SAS），

∴BE=DG，∴∠AEB=∠AGD，

∵∠AOG=∠EOK，

∴∠OAG=∠OKE=90°，

∴BE⊥DG．

（2）如图②中，连接EG，作GH⊥AD交DA的延长线于H．

∵∠OAG＝∠ODE＝90°，

∴A，D，E，G四点共圆，

∴∠ADO＝∠AEG＝45°，

∵∠DAM＝90°，

∴∠ADM＝∠AMD＝45°，

∴

∵DG=2DM，

∴

∵∠H＝90°，

∴∠HDG＝∠HGD＝45°，

∴GH＝DH＝4，

∴AH＝2，

在Rt△AHG中，

（3）①如图③中，当点E在CD的延长线上时．作GH⊥DA交DA的延长线于H．

易证△AHG≌△EDA，可得GH＝AB＝2，

∵DG＝4DM．AM∥GH，

∴

∴DH＝8，

∴AH＝DH﹣AD＝6，

在Rt△AHG中，

②如图3﹣1中，当点E在DC的延长线上时，易证：△AKE≌△GHA，可得AH＝EK＝BC＝2．

∵AD∥GH，

∴

∵AD＝2，

∴HG＝10，

在Rt△AGH中，

综上所述，满足条件的AG的长为或．