Question

如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax²+bx﹣与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0）．绕点A旋转的直线l：y＝kx+b₁交抛物线于另一点D，交y轴于点C．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）当点D在第二象限且满足CD＝5AC时，求直线l的解析式；

（3）在（2）的条件下，点E为直线l下方抛物线上的一点，直接写出△ACE面积的最大值；

（4）如图2，在抛物线的对称轴上有一点P，其纵坐标为4，点Q在抛物线上，当直线l与y轴的交点C位于y轴负半轴时，是否存在以点A，D，P，Q为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y＝x2+x﹣；（2）y＝﹣x+1；（3）当x＝﹣2时，最大值为；（4）存在，点D的横坐标为﹣3或或﹣．

【解析】

（1）设二次函数的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝ax2+2ax﹣3a，即可求解；

（2）OC∥DF，则 即可求解；

（3）由S△ACE=S△AME﹣S△CME即可求解；

（4）分当AP为平行四边形的一条边、对角线两种情况，分别求解即可．

（1）设二次函数的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝ax2+2ax﹣3a，

即： 解得：

故函数的表达式为： ①；

（2）过点D作DF⊥x轴交于点F，过点E作y轴的平行线交直线AD于点M，

∵OC∥DF，∴OF＝5OA＝5，

故点D的坐标为（﹣5，6），

将点A、D的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n得：，解得：

即直线AD的表达式为：y＝﹣x+1，

（3）设点E坐标为 则点M坐标为

则

∵故S△ACE有最大值，

当x＝﹣2时，最大值为；

（4）存在，理由：

①当AP为平行四边形的一条边时，如下图，

设点D的坐标为

将点A向左平移2个单位、向上平移4个单位到达点P的位置，

同样把点D左平移2个单位、向上平移4个单位到达点Q的位置，

则点Q的坐标为

将点Q的坐标代入①式并解得：

②当AP为平行四边形的对角线时，如下图，

设点Q坐标为点D的坐标为（m，n），

AP中点的坐标为（0，2），该点也是DQ的中点，

则： 即：

将点D坐标代入①式并解得：

故点D的横坐标为：或或．