Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax²﹣5ax+c 交 x 轴于点 A，点 A 的坐标为（4，0）．

(1)用含 a 的代数式表示 c．

(2)当 a＝时，求 x 为何值时 y 取得最小值，并求出 y 的最小值．

(3)当 a＝时，求 0≤x≤6 时 y 的取值范围．

(4)已知点 B 的坐标为（0，3），当抛物线的顶点落在△AOB 外接圆内部时，直接写出 a的取值范围．

Answer

（1）c＝4a；（2）当 x＝时，y 取得最小值，最小值为﹣；（3）当 0≤x≤6 时，y 的取值范围是﹣5≤y≤；（4）-﹣＜a＜﹣+且 a≠0．

【解析】

（1）由抛物线和x轴的交点A的坐标代入即可求出

（2）已知a的值可求出c的值，从而可以求出抛物线的解析式；再把抛物线的解析式用配方法表示出来，根据抛物线的性质特点求出

（3）已知a的值求出b，从而求出抛物线的解析式；把抛物线用配方法表示出来根据其性质可求出y的取值范围

（4）把抛物线的解析式用配方法表示出来求出其对称轴和定点坐标，根据题意作出圆在进行分析解答

（1）将 A（4，0）代入 y＝ax2﹣5ax+c，得：16a﹣20a+c＝0，解得：c＝4a．

（2）当 a＝时，c＝2，

∴抛物线的解析式为 y＝ x2﹣ x+2＝（x﹣）2﹣ ．

∵a＝ ＞0，

∴当 x＝时，y 取得最小值，最小值为﹣．

（3）当 a＝﹣时，c＝﹣2，

∴抛物线的解析式为 y＝﹣x2+ x﹣2＝﹣（x﹣ ）2+ ．

∵a＝﹣ ＜0，

∴当 x＝ 时，y 取得最大值，最大值为 ； 当 x＝0 时，y＝﹣2；

当 x＝6 时，y＝﹣×62+ ×6﹣2＝﹣5．

∴当 0≤x≤6 时，y 的取值范围是﹣5≤y≤ ．

（4）∵抛物线的解析式为 y＝ax2﹣5ax+4a＝a（x﹣ ）2﹣ a，

∴抛物线的对称轴为直线 x＝ ，顶点坐标为（ ，﹣a）．

设线段 AB 的中点为 O，以 AB 为直径作圆，设抛物线对称轴与⊙O 交于点 C，D，过点 O

作 OH⊥CD 于点 H，如图所示．

∵点 A 的坐标为（4，0），点 B 的坐标（0，3），

∴AB＝5，点 O 的坐标为（2，），点 H 的坐标为（，）．在 Rt△COH 中，

OC＝AB＝ ，OH＝ ，

∴CH＝ ，

∴点 C 的坐标为（，）．

同理：点 D 的坐标为（，﹣），

∴ ，

解得：﹣- ＜a＜﹣+ 且 a≠0．