Question

如图1，点为正的边上一点（不与点重合），点分别在边上，且.

（1）求证：；

（2）设，的面积为，的面积为，求（用含的式子表示）；

（3）如图2，若点为边的中点，求证： .

图1               图2

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.

【解析】

（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断；
（2）如图2中，分别过E，F作EG⊥BC于G，FH⊥BC于H，S1=•BD•EG=•BD•EG=•a•BE•sin60°=•a•BE，S2=•CD•FH=•b•CF，可得S1•S2=ab•BE•CF，由（1）得△BDE∽△CFD，，即BE•FC=BD•CD=ab，即可推出S1•S2=a2b2；
（3）想办法证明△DFE∽△CFD，推出，即DF2=EF•FC；

（1）证明：如图1中，

在△BDE中，∠BDE+∠DEB+∠B=180°，又∠BDE+∠EDF+∠FDC=180°，
∴∠BDE+∠DEB+∠B=∠BDE+∠EDF+∠FDC，
∵∠EDF=∠B，
∴∠DEB=∠FDC，
又∠B=∠C，
∴△BDE∽△CFD．

（2）如图2中，分别过E，F作EG⊥BC于G，FH⊥BC于H，

S1=•BD•EG=•BD•EG=•a•BE•sin60°=•a•BE，S2=•CD•FH=•b•CF，
∴S1•S2=ab•BE•CF
由（1）得△BDE∽△CFD，
∴，即BE•FC=BD•CD=ab，
∴S1•S2=a2b2．

（3）由（1）得△BDE∽△CFD，
∴，
又BD=CD，
∴，
又∠EDF=∠C=60°，
∴△DFE∽△CFD，
∴，即DF2=EF•FC．