Question

已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，点F在DE的延长线上，AD＝AF，AE•CE＝DE•EF．

（1）求证：△ADE∽△ACD；

（2）如果AE•BD＝EF•AF，求证：AB＝AC．

Answer

（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）由AE•CE＝DE•EF，推出△AEF∽△DEC，可得∠F＝∠C，再证明∠ADF＝∠C，即可解决问题；

（2）欲证明AB＝AC，利用相似三角形的性质证明∠B＝∠C即可.

（1）∵AD＝AF，

∴∠ADF＝∠F，

∵AE•CE＝DE•EF，

∴，

又∵∠AEF＝∠DEC，

∴△AEF∽△DEC，

∴∠F＝∠C，

∴∠ADF＝∠C，

又∵∠DAE＝∠CAD，

∴△ADE∽△ACD．

（2）∵AE•BD＝EF•AF，

∴，

∵AD＝AF，

∴，

∵∠AEF＝∠EAD+∠ADE，∠ADB＝∠EAD+∠C，

∴∠AEF＝∠ADB，

∴△AEF∽△ADB，

∴∠F＝∠B，

∴∠C＝∠B，

∴AB＝AC．