Question

在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝﹣x²平移后经过点A（﹣1，0）、B（4，0），且平移后的抛物线与y轴交于点C（如图）．

（1）求平移后的抛物线的表达式；

（2）如果点D在线段CB上，且CD＝，求∠CAD的正弦值；

（3）点E在y轴上且位于点C的上方，点P在直线BC上，点Q在平移后的抛物线上，如果四边形ECPQ是菱形，求点Q的坐标．

Answer

（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）sin∠CAD=；（3）点Q的坐标为（4-，5-2）．

【解析】

（1）根据平移前后a的值不变，用待定系数法求解即可；

（2）求出直线BC的解析式，确定点D的坐标，过点D作DM⊥AC，过点B作BN⊥AC，垂足分别为点M、N，运用面积法求出BN，再根据相似三角形的性质求出DM，根据直角三角函数求解即可；

（3）设点Q的坐标为（n，﹣n2+3n+4），如果四边形ECPQ是菱形，则n＞0，PQ∥y轴，PQ＝PC，点P的坐标为（n，﹣n+4），根据邻边相等列出方程即可求解．

（1）设平移后的抛物线的解析式为y＝﹣x2+bx+c．

将A（﹣1，0）、B（4，0），代入得

解得：

所以，y＝﹣x2+3x+4．

（2）如图1

∵y＝﹣x2+3x+4，∴点C的坐标为（0，4）．

设直线BC的解析式为y＝kx+4，将B（4，0），代入得kx+4＝0，解得k＝﹣1，

∴y＝﹣x+4．

设点D的坐标为（m，4﹣m）．

∵CD＝，∴2＝2m2，解得m＝1或m＝﹣1（舍去），

∴点D的坐标为（1，3）．

过点D作DM⊥AC，过点B作BN⊥AC，垂足分别为点M、N．

∵，

∴，

∴．

∵DM∥BN，∴，

∴，

∴．

∴．

（3）如图2

设点Q的坐标为（n，﹣n2+3n+4）．

如果四边形ECPQ是菱形，则n＞0，PQ∥y轴，PQ＝PC，点P的坐标为（n，﹣n+4）．

∵PQ＝﹣n2+3n+4+n﹣4＝4n﹣n2，，

∴，解得或n＝0（舍）．

∴点Q的坐标为（，）．