Question

你能求（x﹣1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x+1）的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．先分别计算下列各式的值．

①（x﹣1）（x+1）＝x²﹣1

②（x﹣1）（x²+x+1）＝x³﹣1

③（x﹣1）（x³+x²+x+1）＝x⁴﹣1

……

由此我们可以得到：（x﹣1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x+1）＝　   　

请你利用上面的结论，再完成下面两题的计算：

（1）（﹣2）⁵⁰+（﹣2）⁴⁹+（﹣2）⁴⁸+…+（﹣2）+1

（2）若x³+x²+x+1＝0，求x²⁰¹⁹的值

Answer

x100﹣1（1） （2）﹣1

【解析】

先根据规律计算：（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）的结果；

（1）根据规律确定：x﹣1，就是﹣2﹣1，得原式＝（﹣2﹣1）•，根据公式可得结论；

（2）根据（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，代入已知可得x的值，根据x3+x2+x+1＝0，x2≥0，得x＜0，可得x＝﹣1，代入可得结论．

（1）由题意得：（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）＝x100﹣1，

故答案为：x100﹣1；

（1）（﹣2）50+（﹣2）49+（﹣2）48+…+（﹣2）+1，

＝（﹣2﹣1）•，

＝，

＝；

（2）∵（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，x3+x2+x+1＝0，

∴x4＝1，

则x＝±1，

∵x3+x2+x+1＝0，

∴x＜0，

∴x＝﹣1，

∴x2019＝﹣1．