Question

如图，函数y=（x<0）的图像与直线y=-x交于A点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°，交函数y=（x<0）的图像于B点，得到线段OB，若线段AB=3-，则k= _______________________.

Answer

-3

【解析】

作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，AE⊥BD于E点，设A点坐标为（3a，-a），则OC=-3a，AC=-a，利用勾股定理计算出OA=-2a，得到∠AOC=30°，再根据旋转的性质得到OA=OB，∠BOD=60°，易证得Rt△OAC≌Rt△BOD，OD=AC=-a，BD=OC=-3a，于是有AE=OC-OD=-3a+a，BE=BD-AC=-3a+a，即AE=BE，则△ABE为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到3-=（-3a+a），求出a=1，确定A点坐标为（3，-），然后把A（3，-）代入函数y=即可得到k的值．

作AC⊥x轴与C，BD⊥x轴于D，AE⊥BD于E点，如图，

点A在直线y=-x上，可设A点坐标为（3a，-a），

在Rt△OAC中，OC=-3a，AC=-a，

∴OA==-2a，

∴∠AOC=30°，

∵直线OA绕O点顺时针旋转30°得到OB，

∴OA=OB，∠BOD=60°，

∴∠OBD=30°，

∴Rt△OAC≌Rt△BOD，

∴OD=AC=-a，BD=OC=-3a，

∵四边形ACDE为矩形，

∴AE=OC-OD=-3a+a，BE=BD-AC=-3a+a，

∴AE=BE，

∴△ABE为等腰直角三角形，

∴AB=AE，即3-=（-3a+a），

解得a=1，

∴A点坐标为（3，-），

而点A在函数y=的图象上，

∴k=3×（-）=-3．

故答案为-3．