Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF．求证：∠ADC＝∠BDF．

Answer

见解析

【解析】

作BG⊥CB，交CF的延长线于点G，由ASA证明△ACD≌△CBG，得出CD＝BG，∠CDA＝∠CGB，证出BG＝BD，∠FBD＝∠GBF＝∠CBG，再由SAS证明△BFG≌△BFD，得出∠FGB＝∠FDB，即可得出结论．

证明：作BG⊥CB，交CF的延长线于点G，如图所示：

∵∠CBG＝90°，CF⊥AD，

∴∠CAD+∠ADC＝∠BCG+∠ADC＝90°，

∴∠CAD＝∠BCG，

在△ACD和△CBG中，

，

∴△ACD≌△CBG（ASA），

∴CD＝BG，∠CDA＝∠CGB，

∵CD＝BD，

∴BG＝BD，

∵∠ABC＝45°，

∴∠FBD＝∠GBF＝∠CBG，

在△BFG和△BFD中，

，

∴△BFG≌△BFD（SAS），

∴∠FGB＝∠FDB，

∴∠ADC＝∠BDF．