Question

二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图，下列四个结论：

①4a+c＜0；②m（am+b）+b＞a（m≠﹣1）；③关于x的一元二次方程ax²+（b﹣1）x+c=0没有实数根；④ak⁴+bk²＜a（k²+1）²+b（k²+1）（k为常数）．其中正确结论的个数是（　　）

A. 4个    B. 3个    C. 2个    D. 1个

Answer

D

【解析】

①因为二次函数的对称轴是直线x=﹣1，由图象可得左交点的横坐标大于﹣3，小于﹣2，

所以﹣=﹣1，可得b=2a，

当x=﹣3时，y＜0，

即9a﹣3b+c＜0，

9a﹣6a+c＜0，

3a+c＜0，

∵a＜0，

∴4a+c＜0，

所以①选项结论正确；

②∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，

∴y=a﹣b+c的值最大，

即把x=m（m≠﹣1）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，

∴am2+bm＜a﹣b，

m（am+b）+b＜a，

所以此选项结论不正确；

③ax2+（b﹣1）x+c=0，

△=（b﹣1）2﹣4ac，

∵a＜0，c＞0，

∴ac＜0，

∴﹣4ac＞0，

∵（b﹣1）2≥0，

∴△＞0，

∴关于x的一元二次方程ax2+（b﹣1）x+c=0有实数根；

④由图象得：当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，

∵当k为常数时，0≤k2≤k2+1，

∴当x=k2的值大于x=k2+1的函数值，

即ak4+bk2+c＞a（k2+1）2+b（k2+1）+c，

ak4+bk2＞a（k2+1）2+b（k2+1），

所以此选项结论不正确；

所以正确结论的个数是1个，

故选：D．