Question

已知一次函数y＝x+1与抛物线y＝x²+bx+c交A（m，9），B（0，1）两点，点C在抛物线上且横坐标为6．

（1）写出抛物线的函数表达式；

（2）判断△ABC的形状，并证明你的结论；

（3）平面内是否存在点Q在直线AB、BC、AC距离相等，如果存在，请直接写出所有符合条件的Q的坐标，如果不存在，说说你的理由．

Answer

（1）y＝x2﹣7x+1；（2）△ABC为直角三角形．理由见解析；（3）符合条件的Q的坐标为（4，1），（24，1），（0，﹣7），（0，13）．

【解析】

（1）先利用一次函数解析式得到A（8，9），然后利用待定系数法求抛物线解析式；

（2）先利用抛物线解析式确定C（6，﹣5），作AM⊥y轴于M，CN⊥y轴于N，如图，证明△ABM和△BNC都是等腰直角三角形得到∠MBA＝45°，∠NBC＝45°，AB＝8 ，BN＝6，从而得到∠ABC＝90°，所以△ABC为直角三角形；

（3）利用勾股定理计算出AC＝10 ，根据直角三角形内切圆半径的计算公式得到Rt△ABC的内切圆的半径＝2 ，设△ABC的内心为I，过A作AI的垂线交直线BI于P，交y轴于Q，AI交y轴于G，如图，则AI、BI为角平分线，BI⊥y轴，PQ为△ABC的外角平分线，易得y轴为△ABC的外角平分线，根据角平分线的性质可判断点P、I、Q、G到直线AB、BC、AC距离相等，由于BI＝×2＝4，则I（4，1），接着利用待定系数法求出直线AI的解析式为y＝2x﹣7，直线AP的解析式为y＝﹣x+13，然后分别求出P、Q、G的坐标即可．

（1）把A（m，9）代入y＝x+1得m+1＝9，解得m＝8，则A（8，9），

把A（8，9），B（0，1）代入y＝x2+bx+c得，解得，

∴抛物线解析式为y＝x2﹣7x+1；

故答案为y＝x2﹣7x+1；

（2）△ABC为直角三角形．理由如下：

当x＝6时，y＝x2﹣7x+1＝36﹣42+1＝﹣5，则C（6，﹣5），

作AM⊥y轴于M，CN⊥y轴于N，如图，

∵B（0，1），A（8，9），C（6，﹣5），

∴BM＝AM＝8，BN＝CN＝6，

∴△ABM和△BNC都是等腰直角三角形，

∴∠MBA＝45°，∠NBC＝45°，AB＝8，BN＝6，

∴∠ABC＝90°，

∴△ABC为直角三角形；

（3）∵AB＝8，BN＝6，

∴AC＝10，

∴Rt△ABC的内切圆的半径＝，

设△ABC的内心为I，过A作AI的垂线交直线BI于P，交y轴于Q，AI交y轴于G，如图，

∵I为△ABC的内心，

∴AI、BI为角平分线，

∴BI⊥y轴，

而AI⊥PQ，

∴PQ为△ABC的外角平分线，

易得y轴为△ABC的外角平分线，

∴点I、P、Q、G为△ABC的内角平分线或外角平分线的交点，

它们到直线AB、BC、AC距离相等，

BI＝×2＝4，

而BI⊥y轴，

∴I（4，1），

设直线AI的解析式为y＝kx+n，

则，解得，

∴直线AI的解析式为y＝2x﹣7，

当x＝0时，y＝2x﹣7＝﹣7，则G（0，﹣7）；

设直线AP的解析式为y＝﹣x+p，

把A（8，9）代入得﹣4+n＝9，解得n＝13，

∴直线AP的解析式为y＝﹣x+13，

当y＝1时，﹣x+13＝1，则P（24，1）

当x＝0时，y＝﹣x+13＝13，则Q（0，13），

综上所述，符合条件的Q的坐标为（4，1），（24，1），（0，﹣7），（0，13）．