Question

点P是矩形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A，C重合），分别过点A，C向直线BP作垂线，垂足分别为点E，F，点O为AC的中点．

（1）如图1，当点P与点O重合时，请你判断OE与OF的数量关系；

（2）当点P运动到如图2所示位置时，请你在图2中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立；

（3）若点P在射线OA上运动，恰好使得∠OEF＝30°时，猜想此时线段CF，AE，OE之间有怎样的数量关系，直接写出结论不必证明．

Answer

（1）OE＝OF．理由见解析；（2）补全图形如图所示见解析，OE＝OF仍然成立；（3）CF＝OE+AE或CF＝OE﹣AE．

【解析】

（1）根据矩形的性质以及垂线，即可判定，得出OE=OF；

（2）先延长EO交CF于点G，通过判定，得出OG=OE，再根据中，，即可得到OE=OF；

（3）根据点P在射线OA上运动，需要分两种情况进行讨论：当点P在线段OA上时，当点P在线段OA延长线上时，分别根据全等三角形的性质以及线段的和差关系进行推导计算即可．

（1）OE=OF．理由如下：

如图1．

∵四边形ABCD是矩形，∴ OA=OC．

∵，，∴．

∵在和中，，∴，∴ OE=OF；

（2）补全图形如图2，OE=OF仍然成立．证明如下：

延长EO交CF于点G．

∵，，∴ AE//CF，∴．

又∵点O为AC的中点，∴ AO=CO．

在和中，，∴，∴ OG=OE，∴中，，∴ OE=OF；

（3）CF=OE+AE或CF=OE-AE．

证明如下：①如图2，当点P在线段OA上时．

∵，，∴，由（2）可得：OF=OG，∴是等边三角形，∴ FG=OF=OE，由（2）可得：，∴ CG=AE．

又∵ CF=GF+CG，∴ CF=OE+AE；

②如图3，当点P在线段OA延长线上时．

∵，，∴，同理可得：是等边三角形，∴ FG=OF=OE，同理可得：，∴ CG=AE．

又∵ CF=GF-CG，∴ CF=OE-AE．