Question

如图1，已知射线AP是∠MAN的角平分线，点B为射线AP上的一点且AB＝10，过点B分别作BC⊥AM于点C，作BD⊥AN于点D，BC＝6．

（1）在图1中连接CD交AB于点O．求证：AB垂直平分CD；

（2）从A，B两题中任选一题作答，我选择　   　题

A．将图1中的△ABC沿射线AP的方向平移得到△ABC，点A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′．若平移后点B的对应点B′的位置如图2，连接DB′．

①请在图2中画出此时的△A′B′C′，并在图中标注相应的字母；

②若图2中的DB′∥A′C′，写出平移的距离．

B．将图1中的△ABC沿射线AP的方向平移得到△A′B′C′，点A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′．

①在△A′B′C′平移的过程中，若点C′与点D的连线恰好经过点B，请在图3中画出此时的△A′B′C′，并在图中标注相应的字母；

②如图3，点C′与点D的连线恰好经过点B，写出此时平移的距离．

Answer

（1）证明见解析；（2）A：①△A′B′C′如图所示；见解析；②平移的距离为，B：①△A′B′C′如图所示：见解析；②平移的距离为．

【解析】

（1）只要证明△ABC≌△ABD，即可推出AC＝AD，BC＝BD，可得AB垂直平分线段CD；（2）A：①作出△A′B′C′即可；②作DH⊥AB于H．首先证明DA＝DB′，想办法求出AH即可解决问题；B：①作出△A′B′C′即可；②作C′H⊥AP于H．首先证明C′B＝C′B′，想办法求出B′H即可解决问题.

（1）证明：如图1中，

∵BC⊥AM，BD⊥AN，

∴∠ACB＝∠ADB＝90°，

∵∠BAC＝∠BAD，AB＝AB，

∴△ABC≌△ABD，

∴AC＝AD，BC＝BD，

∴AB垂直平分线段CD．

（2）A：①△A′B′C′如图所示；

②作DH⊥AB于H．

在Rt△ABD中，AB＝10，BD＝BC＝6，

∴AD＝＝8，

∵cos∠DAH＝＝，

∴AH＝，

∵DB′∥AC，

∴∠AB′D＝∠CAB，

∵∠CAB＝∠DAB，

∴∠DAB＝∠AB′D，

∴DA＝DB′，∵DH⊥AB′，

∴AH＝HB′，

∴AB′＝，

∴BB′＝AB′﹣AB＝﹣10＝，

∴平移的距离为，

B：①△A′B′C′如图所示：

②作C′H⊥AP于H．

∵∠ABD＝∠C′BB′＝∠C′B′A′，

∴C′B＝C′B′，

∵C′H⊥BB′，

∴BH＝HB′，

∵cos∠A′B′C′＝，

∴，

∴HB′＝，

∴BB′＝2B′H＝，

∴平移的距离为．

故答案为A或B，，．