Question

综合与探究

问题情境：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC上的点，且AD＝AE，连接DE，易知BD＝CE．将△ADE绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜360°），连接BD，CE，得到图2．

（1）变式探究：如图2，若0°＜α＜90°，则BD＝CE的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（2）拓展延伸：若图1中的∠BAC＝120°，其余条件不变，请解答下列问题：

从A，B两题中任选一题作答我选择　   　题

A．①在图1中，若AB＝10，求BC的长；

②如图3，在△ADE绕点A顺时针旋转的过程中，当DE的延长线经过点C时，请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系；

B．①在图1中，试探究BC与AB的数量关系，并说明理由；

②在△ADE绕点A顺时针旋转的过程中，当点D，E，C三点在同一条直线上时，请借助备用图探究线段AD，BD，CD之间的等量关系，并直接写出结果．

Answer

（1）结论：BD＝CE．理由见解析；（2）A：①BC＝10．②结论：CD＝AD+BD．理由见解析；B：①BC＝AB．②结论：CD＝AD+BD．理由见解析．

【解析】

（1）结论：BD＝CE．只要证明△DAB≌△EAC即可；

（2）A：①如图1中，作AH⊥BC于H．解直角三角形即可解决问题；

②结论：CD＝AD+BD．如图3中，作AH⊥CD于H．由△DAB≌△EAC，推出BD＝CE，在Rt△ADH中，DH＝AD•cos30°＝AD，由AD＝AE，AH⊥DE，推出DH＝HE，可得CD＝DE+EC＝2DH+BD＝AD+BD；

B：①如图1中，作AH⊥BC于H．解直角三角形可得：BC＝2BH＝AB；

②类似A②；

（1）结论：BD＝CE．

理由：如图2中，

∵∠ABC＝∠DAE，

∴∠DAB＝∠EAC，

∵AD＝AE，AB＝AC，

∴△DAB≌△EAC，

∴BD＝EC．

（2）A：①如图1中，作AH⊥BC于H．

∵AB＝AC，AH⊥BC，

∴BH＝HC，

∵∠BAC＝120°，

∴∠B＝∠C＝30°，

∴BH＝AB•cos30°＝5，

∴BC＝10．

②结论：CD＝AD+BD．

理由：如图3中，作AH⊥CD于H．

∵△DAB≌△EAC，

∴BD＝CE，

在Rt△ADH中，DH＝AD•cos30°＝AD，

∵AD＝AE，AH⊥DE，

∴DH＝HE，

∵CD＝DE+EC＝2DH+BD＝AD+BD．

B：①如图1中，作AH⊥BC于H．

∵AB＝AC，AH⊥BC，

∴BH＝HC，

∵∠BAC＝120°，

∴∠B＝∠C＝30°，

∴BH＝AB•cos30°＝AB，

∴BC＝2BH＝AB．

②结论：CD＝AD+BD．

证明方法同A②．