Question

已知在平面直角坐标系中，过点向x轴作垂线，垂足为点M，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接AF，过点A作交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒．

若点E在y轴的负半轴上如图所示，求证：；

如果点F运动时间是4秒．

求直线AE的表达式；

若直线AE与x轴的交点为B，C是y轴上一点，使，求出C的坐标；

在点F运动过程中，设，，试用含m的代数式表示n．

Answer

（1）见解析；（2）①；②；（3）．

【解析】

点F的坐标为，求出点E的坐标为，即可求解；

把代入式，即可求解，求出直线CH的表达式即可求解；

，，即可求解．

点F的坐标为，直线AE交x轴于点B，

将点A、F坐标代入一次函数表达式：得：，解得：，

，

直线AE表达式中的k值为，

则直线AE的表达式为：，

则点B的坐标为，点E的坐标为，

，

同理可得：；

把代入式并解得：

直线AE的表达式为：，

如图取AB的中点H，过点H作直线AE的垂线交y轴于点C，

则直线CH表达式中的k值为：，

点B的坐标为，中点H的坐标为，

则设：直线CH的表达式为：，

将点H坐标代入上式并解得：，

即点C的坐标为；

，，

则：．