Question

如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．

（1）求证：OE＝CD；

（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°．求AE的长．

Answer

（1）详见解析；（2）．

【解析】

(1)由菱形ABCD中，DE∥AC且DE=AC，易证得四边形OCED是平行四边形，继而可得OE=CD即可；

（2）由菱形的对角线互相垂直，可证得四边形OCED是矩形，根据菱形的性质得出AC=AB，再根据勾股定理得出AE的长度即可．

本题解析：

（1）证明：四边形ABCD是菱形，

∴OA=OC=AC，AD=CD，

∵DE∥AC且DE=AC，

∴DE=OA=OC，

∴四边形OADE、四边形OCED都是平行四边形，

（2）【解析】
∵AC⊥BD，

∴OE=AD，

∴OE=CD；

∴四边形OCED是矩形，

∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，

∴AC=AB=2，

∴在矩形OCED中，CE=OD=．

∴在Rt△ACE中，AE=．