Question

在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝3．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．

（1）求点B的坐标；

（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F，过点E作EG⊥x轴于G，且EG：OG＝2．求直线DE的解析式；

（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

1.如图，作BH⊥x轴，垂足为H，那么四边形BCOH为矩形，OH＝CB＝3．

在Rt△ABH中，AH＝3，BA＝，所以BH＝6．因此点B的坐标为(3,6)．

2.因为OE＝2EB，所以，，E(2,4)．

设直线DE的解析式为y＝kx＋b，代入D(0,5)，E(2,4)，

得解得，．所以直线DE的解析式为．

3.由，知直线DE与x轴交于点F(10,0)，OF＝10，DF＝．

①如图，当DO为菱形的对角线时，MN与DO互相垂直平分，点M是DF的中点．

此时点M的坐标为(5,)，点N的坐标为(－5,)．

②如图，当DO、DN为菱形的邻边时，点N与点O关于点E对称，此时点N的坐标为(4,8)．

③如图，当DO、DM为菱形的邻边时，NO＝5，延长MN交x轴于P．

由△NPO∽△DOF，得，

即．

解得，．此时点N的坐标为．

【解析】

（1）作BH⊥x轴，构建矩形，在直角三角形中求得BH=6，从而求得点B的坐标为(3,6)。

（2）待定系数法求得直线解析式。

（3）综合性较强，考虑全面是正确解题的关键。