Question

如图，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，B、C、E三点共线，连接DC，点F为CD上的一点，连接AF．

（1）若BE平分∠AED，求证：AC＝EC；

（2）若∠DAF＝∠AEC，求证：BE＝2AF．

Answer

(1)见解析;(2)见解析.

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性质和角平分线的性质，可得∠ACB＝2∠AEC＝45°，可得∠AEC＝∠EAC＝22.5°，可得AC＝EC；

（2）过点D作DM∥AC，交AF的延长线于点M，通过证明△ABE≌△DMA，可得AB＝DM，AM＝BE，通过证明△ACF≌△MDF，可得BE＝AM＝2AF．

证明：（1）∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，

∴AB＝AC，AE＝AD，∠ACB＝∠ABC＝∠AED＝∠ADE＝45°，

∵BE平分∠AED，

∴∠AEB＝22.5°

∵∠ACB＝∠AEC+∠EAC＝45°

∴∠AEC＝∠EAC＝22.5°

∴AC＝EC

（2）如图，过点D作DM∥AC，交AF的延长线于点M，

∵∠DAF＝∠AEC，且∠AEC+∠EAC＝∠ACB＝45°

∴∠EAC+∠DAF＝45°，且∠DAE＝90°，

∴∠CAF＝45°

∵AC∥DM，

∴∠CAF＝∠DMA＝45°

∴∠DMA＝∠ABC＝45°，且AE＝AD，∠AEC＝∠DAF，

∴△ABE≌△DMA（AAS）

∴AB＝DM，AM＝BE，

∴AB＝AC＝DM，且∠AFC＝∠DFM，∠CAF＝∠AMD

∴△ACF≌△MDF（AAS）

∴AF＝FM

∴AM＝2AF＝BE