Question

若一个正整数a可以表示为连续的两个奇数的平方差的形式，如：8＝3²﹣1²，16＝5²﹣3²，24＝7²﹣5²，……，我们则称形如8，16，24这样的正整数a为“奇特数”．

（1）请写出最小的三位“奇特数”，并表示成连续的两个奇数的平方差的形式；

（2）求证：任意一个“奇特数”都是8的倍数；

（3）若一个三位数b为“奇特数”，其百位和个位上的数字相同，十位上的数字比个位上的数字大m（m为正整数），求满足条件的所有三位“奇特数”．

Answer

（1）见解析;（2）见解析;（3）b的值为：232, 464 , 696.

【解析】

新型定义题型，根据题干中奇特数的要求列出式子，在结合因式分解法和平方差公式解决问题，最主要是掌握奇特数是整数这一要素．

（1）【解析】
最小的三位奇特数是：104

104＝.

（2）证明：设m＝

∵m＝8k+8, m＝8（k+1）

∴r任意一个“奇特数”都是8的倍数

（3）设个位上的数字为：x，则十位数字为：（m+x），百位数字为：x

则b＝100x+10（m+x）+x

＝100x+10m+10x+x

＝111x+10m

∵b为奇特数

∴b是8的倍数

＝13x+m+,

又∵是整数,

∴也是整数且1≤x＜10，1≤（x+m）＜10,

∴，，（舍），，（舍），（舍）

∴b的值为：232,464,696.