Question

如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，∠CAB＝90°，点A，点B的坐标分别为A（0，a），B（b，0），且a，b满足a²+b²﹣4a﹣8b+20＝0，AC与x轴交于点D．

（1）求△AOB的面积；

（2）求证：点D为AC的中点；

（3）点E为x轴的负半轴上的动点，分别以OA，AE为直角边在第一、二象限作等腰直角三角形△OAN和等腰直角三角形△EAM，连接MN交y轴于点P，试探究线段OE与AP的数量关系，并证明你的结论．

Answer

（1）4；（2）见解析；（3）见解析．

【解析】

（1）a2+b2﹣4a﹣8b+20＝（a﹣2）2+（b﹣4）2＝0，即可求解；

（2）由∠ABO＝∠DAO，用解直角三角形的方法即可求解；

（3）证明△AHM≌△EOA（AAS）和△MPH≌△NPA（AAS），即可求解．

【解析】
（1）a2+b2﹣4a﹣8b+20＝（a﹣2）2+（b﹣4）2＝0，

则：a＝2，b＝4，

S△AOB＝OA•OB＝4；

（2）∠OAB+∠OBA＝90°，∠OAB+∠DAO＝90°，

∴∠ABO＝∠DAO，

OA＝2，OB＝4，则：AB＝，cos∠ABO＝＝,

AD＝＝＝AB＝AC，

即：点D为AC的中点；

（3）过点M作MH⊥y轴交于点H，

∵∠MAH+∠EAO＝90°，∠MAH+∠HMA＝90°，

∴∠HMA＝∠EAO，

又∠MHA＝∠AOE＝90°，AE＝AM，

∴△AHM≌△EOA（AAS），

∴AH＝OE，MH＝OA＝AN，

又∠MHA＝∠NAP＝90°，∠MPH＝∠APN，

∴△MPH≌△NPA（AAS），

∴AP＝PH＝AH＝OE．