Question

（1）如图1，在△ABC中，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，若∠A＝60°，∠DBC+∠ECB多少度；

（2）如图2，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有怎样的数量关系？为什么？

（3）如图3，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P与∠A+∠D有怎样的数量关系？为什么？

（4）如图4，在五边形ABCDE中，BP、CP分别平分外角∠NBC、∠MCB，∠P与∠A+∠D+∠E有怎样的数量关系？(直接写出答案)．

Answer

（1）∠DBC+∠ECB＝240°；（2）∠P＝90°﹣∠A；（3）∠P＝180°﹣（∠A+∠D）（4）∠P＝270°﹣（∠A+∠E+∠D）.

【解析】

（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据外角的性质计算；（2）根据角平分线的定义得到∠PBC＝∠DBC，∠PCB＝∠ECB，根据三角形内角和定理计算；

（3）根据四边形内角和等于360°计算；（4）根据五边形的内角和等于540°、三角形的外角的性质、角平分线的定义计算．

（1）∵∠A＝60°，

∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，

∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣120°＝240°；

（2）∵BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，

∴∠PBC＝∠DBC，∠PCB＝∠ECB，

∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，

∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A，

∴∠PBC+∠PCB＝90°+∠A，

∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝90°﹣∠A；

（3）∴∠ABC+∠ACB＝360°﹣∠A﹣∠D，

∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣（360°﹣∠A﹣∠D）＝∠A+∠D，

∴∠PBC+∠PCB＝（∠A+∠D），

∴∠P＝180°﹣（∠A+∠D）；

（4）五边形的内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，

∴∠ABC+∠ACB＝540°﹣∠A﹣∠E﹣∠D，

∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣（540°﹣∠A﹣∠E﹣∠D）＝∠A+∠E+∠D﹣180°，

∴∠PBC+∠PCB＝（∠A+∠E+∠D﹣180°），

∠P＝180°﹣（∠A+∠E+∠D﹣180°）＝270°﹣（∠A+∠E+∠D）．