Question

我们定义：如图1，在△ABC看，把AB点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β＝180°时，我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．

特例感知：

（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．

①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝____BC；

②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为____．

猜想论证：

（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．

Answer

（1）①；②4；（2）AD=BC,证明见解析

【解析】

试题（1）①首先证明△ADB′是含有30°是直角三角形，可得AD=AB′即可解决问题；②首先证明△BAC≌△B′AC′，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题；
（2）如图1中，延长AD到Q，使得AD=DQ，连接B′Q，C′Q，根据∠QB′A=∠BAC，QB′=AC′=AC，AB′=AB，即可得到△AQB′≌△BAC，即可解决问题．

试题解析：

【解析】
（1）①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD=BC；

理由：∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=AC=AB′=AC′，

∵DB′=DC′，

∴AD⊥B′C′，

∵∠BAC=60°，∠BAC+∠B′AC′=180°，

∴∠B′AC′=120°，

∴∠B′=∠C′=30°，

∴AD=AB′=BC，

故答案为．

②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为4．

理由：∵∠BAC=90°，∠BAC+∠B′AC′=180°，

∴∠B′AC′=∠BAC=90°，

∵AB=AB′，AC=AC′，

∴△BAC≌△B′AC′，

∴BC=B′C′，

∵B′D=DC′，

∴AD=B′C′=BC=4，

故答案为4．

（2）猜想AD＝BC．

证明：如图，延长AD至点Q，则△DQB'≌△DAC'，

∴QB'=AC'，QB'∥AC'，

∴∠QB'A+∠B'AC'=180°，

∵∠BAC+∠B'AC'=180°，

∴∠QB'A=∠BAC，

又由题意得到QB'=AC'=AC，AB'=AB，

∴△AQB'≌△BCA，

∴AQ=BC=2AD，

即AD＝BC．