Question

如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tanα的值．测量员在山坡P处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为37°，塔底B的仰角为26.6°．已知塔高BC=80米，塔所在的山高OB=220米，OA=200米，图中的点O、B、C、A、P在同一平面内，求山坡的坡度．（参考数据sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）

Answer

【解析】
如图，过点P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，则四边形ODPE为矩形．

在Rt△PBD中，∵∠BDP=90°，∠BPD=26.6°，

∴BD=PD•tan∠BPD=PD•tan26.6°。

在Rt△CBD中，∵∠CDP=90°，∠CPD=37°，

∴CD=PD•tan∠CPD=PD•tan37°。

∵CD﹣BD=BC，∴PD•tan37°﹣PD•tan26.6°=80。

∴0.75PD﹣0.50PD=80，解得PD=320。

∴BD=PD•tan26.6°≈320×0.50=160。

∵OB=220，∴PE=OD=OB﹣BD=60。

∵OE=PD=320，∴AE=OE﹣OA=320﹣200=120。

∴。∴α≈26.6°。

【解析】

试题过点P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，则四边形ODPE为矩形，先解Rt△PBD，得出BD=PD•tan26.6°；解Rt△CBD，得出CD=PD•tan37°；再根据CD﹣BD=BC，列出方程，求出PD=320，进而求出PE=60，AE=120，然后在△APE中利用三角函数的定义即可求解。