Question

如图1，反比例函数（x＞0）的图象经过点A（，1），射线AB与反比例函数图象交于另一点B（1，a），射线AC与y轴交于点C，∠BAC＝75°，AD⊥y轴，垂足为D．

（1）求k的值；

（2）求tan∠DAC的值及直线AC的解析式；

（3）如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线l⊥x轴，与AC相交于点N，连接CM，求△CMN面积的最大值．

Answer

（1）；（2），；（3）

【解析】试题（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征易得k=2；

（2）作BH⊥AD于H，如图1，根据反比例函数图象上点的坐标特征确定B点坐标为（1，2），则AH=2﹣1，BH=2﹣1，可判断△ABH为等腰直角三角形，所以∠BAH=45°，得到∠DAC=∠BAC﹣∠BAH=30°，根据特殊角的三角函数值得tan∠DAC=；由于AD⊥y轴，则OD=1，AD=2，然后在Rt△OAD中利用正切的定义可计算出CD=2，易得C点坐标为（0，﹣1），于是可根据待定系数法求出直线AC的解析式为y=x﹣1；

（3）利用M点在反比例函数图象上，可设M点坐标为（t，）（0＜t＜2），由于直线l⊥x轴，与AC相交于点N，得到N点的横坐标为t，利用一次函数图象上点的坐标特征得到N点坐标为（t， t﹣1），则MN=﹣t+1，根据三角形面积公式得到S△CMN=•t•（﹣t+1），再进行配方得到S=﹣（t﹣）2+（0＜t＜2），最后根据二次函数的最值问题求解．

试题解析：（1）把A（2，1）代入y=，得k=2×1=2；

（2）作BH⊥AD于H，如图1，

把B（1，a）代入反比例函数解析式y=，得a=2，

∴B点坐标为（1，2），

∴AH=2﹣1，BH=2﹣1，

∴△ABH为等腰直角三角形，∴∠BAH=45°，

∵∠BAC=75°，∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAH=30°，

∴tan∠DAC=tan30°=；

∵AD⊥y轴，∴OD=1，AD=2，∵tan∠DAC==，

∴CD=2，∴OC=1，

∴C点坐标为（0，﹣1），

设直线AC的解析式为y=kx+b，

把A（2，1）、C（0，﹣1）代入得 ，解得 ，

∴直线AC的解析式为y=x﹣1；

（3）设M点坐标为（t，）（0＜t＜2），

∵直线l⊥x轴，与AC相交于点N，∴N点的横坐标为t，∴N点坐标为（t， t﹣1），

∴MN=﹣（t﹣1）=﹣t+1，

∴S△CMN=•t•（﹣t+1）=﹣t2+t+=﹣（t﹣）2+（0＜t＜2），

∵a=﹣＜0，∴当t=时，S有最大值，最大值为．