Question

（本小题满分10分）已知AC，EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE+∠CBE=90．

（1）如图①，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF．

i）求证：△CAE∽△CBF；

ii）若BE=1，AE=2，求CE的长；

（2）如图②，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且时，若BE＝1，AE=2，CE=3，求k的值；

（3）如图③，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且∠DAB=∠GEF=45°时，设BE=m，AE=n，CE=p，试探究m，n，p三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）

Answer

（1）i）证明见试题解析；ii）；（2）；（3）．

【解析】

试题（1）i）由∠ACE+∠ECB=45°，∠ BCF+∠ECB=45°，得到∠ACE=∠BCF，又由于，故△CAE∽△CBF；

ii）由，得到BF=，再由△CAE∽△CBF，得到∠CAE=∠CBF，进一步可得到∠EBF=90°，从而有，解得；

（2）连接BF，同理可得：∠EBF=90°，由，得到，，故，从而，得到，代入解方程即可；

（3）连接BF，同理可得：∠EBF=90°，过C作CH⊥AB延长线于H，可得：

，，

故，

从而有．

试题解析：（1）i）∵∠ACE+∠ECB=45°，∠ BCF+∠ECB=45°，∴∠ACE=∠BCF，又∵，∴△CAE∽△CBF；

ii）∵，∴BF=，∵△CAE∽△CBF，∴∠CAE=∠CBF，又∵∠CAE+∠CBE=90°，∴∠CBF+∠CBE=90°，即∠EBF=90°，∴，解得；

（2）连接BF，同理可得：∠EBF=90°，∵，∴，，∴，∴，，∴，∴，解得；

（3）连接BF，同理可得：∠EBF=90°，过C作CH⊥AB延长线于H，可得：

，，

∴，

∴．