Question

已知：如图，二次函数y=ax²-2ax+c（a≠0）的图象与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）．

（1）求该二次函数的关系式；

（2）写出该二次函数的对称轴和顶点坐标；

（3）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；

（4）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y=-x2+x+4；（2）二次函数的对称轴为：直线x=1，顶点坐标为：（1，）；（3）Q点坐标为（1，0）；（4）存在，点P的坐标为：P（1+，2）或P（1-，2）或P（1+，3）或P（1-，3）．

【解析】

（1）根据A，C两点坐标，利用待定系数法求二次函数解析式即可；

（2）根据配方法求出二次函数的顶点坐标和对称轴即可；

（3）利用相似三角形的性质得出S△CQE=x×4-x2=-x2+2x，进而求出即可；

（4）利用图象以及等腰三角形的性质假设若DO=DF时以及当FO=FD和当OF=OD时分别得出F点的坐标，将纵坐标代入二次函数解析式即可求出P点坐标．

（1）∵点C（0，4），

∴c=4，

∵点A的坐标为（4，0），

∴0=16a-8a+4，

∴a=-，

∴y=-x2+x+4；

（2）y=-x2+x+4

=-（x2-2x）+4，

=- [（x2-2x+1）-1]+4，

=-（x-1）2+，

∴该二次函数的对称轴为：直线x=1，顶点坐标为：（1，）；

（3）∵二次函数的对称轴为：直线x=1，点A的坐标为（4，0），

∴B（-2，0，），AB=6，

S△ABC=×6×4=12，

设BQ=x，

∵EQ∥AC，

∴△BEQ∽△BCA，

∴（）2=，

∴S△BEQ=，

∴S△CQE=x×4-=-+2x，

当x=-=3时，△CQE面积最大，

∴Q点坐标为（1，0）；

（4）存在，

在△ODF中，

①若DO=DF，∵A（4，0），D（2，0），

∴AD=OD=DF=2，

又∵在Rt△AOC中，OA=OC=4，

∴∠OAC=45°，

∴∠DFA=∠OAC=45°，

∴∠ADF=90°，此时，点F的坐标为：（2，2），

由-x2+x+4=2，

解得：x1=1+，x2=1-，

此时，点P的坐标为：P（1+，2）或P（1-，2）；

②若FO=FD，过点F作FM⊥x轴于点M，

由等腰三角形的性质得出：

OM=OD=1，

∴AM=3，

∴在等腰三角形△AMF中，MF=MA=3，

∴F（1，3），

由-x2+x+4=3，

解得：x1=1+，x2=1-，

此时，点P的坐标为：P（1+，3）或P（1-，3）；

③若OD=OF，∵OA=OC=4，且∠AOC=90°，

∴AC=4，

∴点O到AC的距离为2，而OF=OD=2＜2，

∴此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形．

综上所述：存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形，所求点P的坐标为：P（1+，2）或P（1-，2）或P（1+，3）或P（1-，3）．