Question

（1）问题提出：如图已知直线OA的解析式是y＝2x，OC⊥OA，求直线OC的函数解析式．

甲同学提出了他的想法：在直线y＝2x上取一点M，过M作x轴的垂线，垂足为D设点M的横坐标为m，则点M的纵坐标为2m．即OD＝m，MD＝2m，然后在OC上截取ON＝OM，过N作x轴的垂线垂足为B．则点N的坐标为　   　，直线OC的解析式为　   　．

（2）拓展：已知直线OA的解析式是y＝kx，OC⊥OA，求直线OC的函数解析式．

（3）应用：直接写出经过P（2，3），且垂直于直线y＝﹣x+2的直线解析式　   　．

Answer

（1）（﹣2m，m），y＝﹣x（2）y＝﹣x（3）y＝3x﹣3

【解析】

（1）设出点M的坐标，构造全等三角形，进而求出点N坐标，最后用待定系数法即可得出结论；

（2）同（1）的方法即可得出结论；

（3）先根据（2）求出直线的比例系数，最后将点P的坐标代入即可得出结论．

（1）在第一象限直线y＝2x上取一点M，过M作x轴的垂线，垂足为D，在第二象限OC上截取ON＝OM，过N作x轴的垂线，垂足为B．

∴∠ODM＝∠OBN＝90°，

∴∠DOM+∠DMO＝90°，

∵OA⊥OC，

∴∠DOM+∠BON＝90°，

∴∠DMO＝∠BON，

在△ODM和△NBO中，，

∴△ODM≌△NBO（AAS），

∴DM＝OB，OD＝BN，

∵设点M的横坐标为m，则点M的纵坐标为2m．

∴OD＝m，MD＝2m，

∴OB＝2m，BN＝m，

∴N（﹣2m，m），

设直线OC的解析式为y＝kx，

∴﹣2mk＝m，

∴k＝﹣，

∴直线OC的解析式为y＝﹣x，

故答案为（﹣2m，m），y＝﹣x；

（2）当k＞0时，在第一象限直线y＝kx上取一点M，过M作x轴的垂线，垂足为D，在第二象限OC上截取ON＝OM，过N作x轴的垂线，垂足为B．

∴∠ODM＝∠OBN＝90°，

∴∠DOM+∠DMO＝90°，

∵OA⊥OC，

∴∠DOM+∠BON＝90°，

∴∠DMO＝∠BON，

在△ODM和△NBO中，，

∴△ODM≌△NBO（AAS），

∴DM＝OB，OD＝BN，

∵设点M的横坐标为m，则点M的纵坐标为km．

∴OD＝m，MD＝km，

∴OB＝km，BN＝m，

∴N（﹣km，m），

设直线OC的解析式为y＝k'x，

∴﹣2km•k'＝m，

∴k＝﹣，

∴直线OC的解析式为y＝﹣x；

当k＜0时，同理可得，直线OC的解析式为y＝﹣x；

即：直线OC的解析式为y＝﹣x；

（3）同（2）的方法得，直线y＝kx与直线y＝k'x垂直，可得k•k'＝﹣1，

设过点P的直线解析式为y＝kx+b，

∵经过P（2，3），且垂直于直线y＝﹣x+2，

∴k＝3，

∴过点P的直线解析式为y＝3x+b，

∴3×2+b＝3，

∴b＝﹣3，

∴过点P的直线解析式为y＝3x﹣3，

故答案为y＝3x﹣3．