Question

如图1，P点从点A开始以2厘米/秒的速度沿A→B→C的方向移动，点Q从点C开始以1厘米/秒的速度沿C→A→B的方向移动，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，若AB＝16厘米，AC＝12厘米，BC＝20厘米，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动时间，那么：

（1）如图1，若P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动，试求出t为何值时，QA＝AP

（2）如图2，点Q在CA上运动，试求出t为何值时，三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的；

（3）如图3，当P点到达C点时，P、Q两点都停止运动，试求当t为何值时，线段AQ的长度等于线段BP的长的

Answer

(1) 4s;(2) 9s;(3) t=s或16s

【解析】

试题（1）当P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动时，设CQ=t，AP=2t，则AQ=12-t，由AQ=AP，可得方程12-t=2t，解方程即可．

（2）当Q在线段CA上时，设CQ=t，则AQ=12-t，根据三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的，列出方程即可解决问题．

（3）分三种情形讨论即可①当0＜t≤8时，P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动．②当8＜t≤12时，Q在线段CA上运动，P在线段BC上运动．③当t＞12时，Q在线段AB上运动，P在线段BC上运动时，分别列出方程求解即可．

试题解析：（1）当P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动时，设CQ=t，AP=2t，则AQ=12-t，

∵AQ=AP，

∴12-t=2t，

∴t=4．

∴t=4s时，AQ=AP．

（2）当Q在线段CA上时，设CQ=t，则AQ=12-t，

∵三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的，

∴•AB•AQ=וAB•AC，

∴×16×（12-t）=×16×12，解得t=9．

∴t=9s时，三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的．

（3）由题意可知，Q在线段CA上运动的时间为12秒，P在线段AB上运动时间为8秒，

①当0＜t≤8时，P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动，设CQ=t，AP=2t，则AQ=12-t，BP=16-2t，

∵AQ=BP，

∴12-t=（16-2t），解得t=16（不合题意舍弃）．

②当8＜t≤12时，Q在线段CA上运动，P在线段BC上运动，设CQ=t，则AQ=12-t，BP=2t-16，

∵AQ=BP，

∴12-t=（2t-16），解得t=．

③当t＞12时，Q在线段AB上运动，P在线段BC上运动时，

∵AQ=t-12，BP=2t-16，

∵AQ=BP，

∴t-12=（2t-16），解得t=16，

综上所述，t=s或16s时，AQ=BP．