Question

在平面直角坐标系xOy中,正方形A₁B₁C₁O,A₂B₂C₂C₁,A₃B₃C₃C₂,…,按如图所示的方式放置.点A₁,A₂,A₃,…,A_n和点C₁,C₂,C₃,…,C_n分别落在直线y=x+1和x轴上.抛物线L₁过点A₁,B₁,且顶点在直线y=x+1上,抛物线L₂过点A₂,B₂,且顶点在直线y=x+1上,……,按此规律,抛物线L_n过点A_n,B_n,且顶点也在直线y=x+1上,其中抛物线L₂交正方形A₁B₁C₁O的边A₁B₁于点D₁,抛物线L₃交正方形A₂B₂C₂C₁的边A₂B₂于点D₂,…抛物线L_n+1交正方形A_nB_nC_nC_n-1的边A_nB_n于点D_n(其中n≥1,且n为正整数).

(1)直接写出下列点B₁B₂,B₃的坐标;

(2)写出抛物线L₂,L₃的解析式,并写出其中一个解析式的求解过程,再猜想抛物线L_n的顶点坐标;

(3)①设A₁D₁=k₁·D₁B₁,A₂D₂=k₂·D₂B₂,试判断k₁与k₂的数量关系并说明理由;

②点D₁,D₂,…,D_n是否在一条直线上?若是,直接写出这条直线与直线y=x+1的交点坐标;若不是,请说明理由.

Answer

(1)B1(1,1),B2(3,2),B3(7,4)；(2)抛物线L2,L3的解析式分别为y=-(x-2)2+3,y=-(x-5)2，求解过程见解析；猜想抛物线Ln的顶点坐标为(3×2n-2-1,3×2n-2); (3)①k1与k2的数量关系为k1=k2.理由见解析；②这条直线与直线y=x+1的交点坐标为(-1,0).

【解析】

（1）先求出直线y=x+1与y轴的交点坐标即可得出A1的坐标，故可得出OA1的长，根据四边形A1B1C1O是正方形即可得出B1的坐标，再把B1的横坐标代入直线y=x+1即可得出A1的坐标，同理可得出B2，B3的坐标；
（2）根据四边形A1B1C1O是正方形得出C1的坐标，再由点A2在直线y=x+1上可知A2（1，2），B2的坐标为（3，2），由抛物线L2的对称轴为直线x=2可知抛物线L2的顶点为（2，3），再用待定系数法求出直线L2的解析式；根据B3的坐标为（7，3），同上可求得点A3的坐标为（3，4），抛物线L3的对称轴为直线x=5，同理可得出直线L2的解析式；
（3）①同（2）可求得L2的解析式为y=（x-2）2+3，当y=1时，求出x的值，由A1D1= -D1B1，可得出k1的值，同理可得出k2的值，由此可得出结论；
②由①中的结论可知点D1、D2、…，Dn是否在一条直线上，再用待定系数法求出直线D1D2的解析式，求出与直线y=x+1的交点坐标即可．

(1) ）∵令x=0，则y=1，
∴A1（0，1），
∴OA1=1．
∵四边形A1B1C1O是正方形，
∴A1B1=1，
∴B1（1，1）．
∵当x=1时，y=1+1=2，
∴B2（3，2）；
同理可得，B3（7，4）．

故答案为：B1(1,1),B2(3,2),B3(7,4).

(2)抛物线L2,L3的解析式分别为y=-(x-2)2+3,y=-(x-5)2+6.

抛物线L2的解析式的求解过程:

对于直线y=x+1,设x=0,可得y=1,

即A1(0,1).

∵A1B1C1O是正方形,

∴C1(1,0).

又∵点A2在直线y=x+1上,

∴点A2(1,2).

又∵点B2的坐标为(3,2),

∴抛物线L2的对称轴为直线x=2.

∴抛物线L2的顶点坐标为(2,3).

设抛物线L2的解析式为y=a(x-2)2+3(a≠0),

∵L2过点B2(3,2),

∴当x=3时,y=2,即2=a×(3-2)2+3,解得a=-1.

∴抛物线L2的解析式为y=-(x-2)2+3.

(或抛物线L3的解析式的求解过程:

∵B3的坐标为(7,4),同上可求得点A3的坐标为(3,4),

∴抛物线L3的对称轴为直线x=5.

∴抛物线L3的顶点坐标为(5,6).

设抛物线L3的解析式为y=a(x-5)2+6(a≠0),

∵L3过点B3(7,4),

∴当x=7时,y=4,即4=a×(7-5)2+6,解得a=-.

∴抛物线L3的解析式为y=-(x-5)2+6.)

猜想抛物线Ln的顶点坐标为(3×2n-2-1,3×2n-2);

猜想过程:方法1:可由抛物线L1,L2,L3…的解析式:

y=-2,y=-(x-2)2+3,y=-(x-5)2+6,……,归纳总结得出.

方法2:可由正方形AnBnCnCn-1顶点An,Bn的坐标规律An(2n-1-1,2n-1)与Bn(2n-1,2n-1),

再利用对称性可得抛物线Ln的对称轴为直线x=,即x==3·2n-2-1,

又顶点在直线y=x+1上,所以可得抛物线Ln的顶点坐标为(3×2n-2-1,3×2n-2).

(3)①k1与k2的数量关系为k1=k2.

理由如下:由(2)可知L2的解析式为y=-(x-2)2+3,

当y=1时,1=-(x-2)2+3,解得x1=2-,x2=2+.

∵0