Question

如图，在平面直角坐标中，点的坐标为，点的坐标为，将线段向右平移个单位长度得到线段（点和点分别是点和点的对应点），连接、，点是线段的中点.

备用图

（1）求点的坐标；

（2）若长方形以每秒个单位长度的速度向正下方运动，（点、、、、分别是点、、、、的对应点），当与轴重合时停止运动，连接、，设运动时间为妙，请用含的式子表示三角形的面积（不要求写出的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，连接、，问是否存在某一时刻，使三角形的面积等于三角形的面积？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）（2）（3）存在，，，见解析.

【解析】

（1）根据M和N的坐标和平移的性质可知：MN∥y轴∥PQ，根据K是PM的中点可得K的坐标；
（2）根据题意可知，AE=2，AE边上的高是，由三角形面积公式可得三角形OAE的面积S；
（3）存在两种情况：
①如图2，当点B在OD上方时
②如图3，当点B在OD上方时，
过点B作BG⊥x轴于G，过D作DH⊥x轴于H，分别根据三角形OBD的面积等于三角形OAE的面积列方程可得结论．

【解析】
（1）由题意可知，

是线段的中点，

，

，

；

（2）如图所示，延长交轴于点

则，

；

（3）①如图，当点在上方时，

过点作轴，垂足为

过点作轴，垂足为

则，

，

，，，，

，

，

，

，

；

②如图，当点在下方

过点作轴，垂足为

过点作轴，垂足为

则，

，

，，，，

，

，

，

，

，

，

.

故答案为：（1）（2）（3）存在，，，见解析.