Question

如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，过点C作CE⊥AD于点E，CE＝4，△CDE沿射线DA平移，当CE经过点B时，运动停止．设点D的平移距离为x，平移后的三角形与四边形ABCD的重合部分面积为y，y与x的函数图象如图2所示：

（1）图中DE＝　   　；

（2）求BC的长；

（3）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围．

Answer

（1）2;（2）2; （3）见解析.

【解析】

（1）由图2可知，△DEC的面积为4，利用三角形的面积公式计算即可解决问题．

（2）作AH⊥CD于H．由题意：AE＝3，利用相似三角形的性质求出AH即可解决问题．

（3）分两种情形分别求【解析】
①如图1﹣1中，当0≤x≤3时，重叠部分是四边形MNE′D′．②如图1﹣2中，当3＜x≤4时，重叠部分是五边形AD′MNH．

（1）由图2可知，△DEC的面积为4，

∵CE⊥DE，

∴×DE×EC＝4，

∴×DE×4＝4，

∴DE＝2．

故答案为2．

（2）作AH⊥CD于H．

由题意：AE＝3，

∵DE＝2，

∴AD＝5，

在Rt△DEC中，∵EC＝4，DE＝2，

∴CD＝＝2，

∵∠D＝∠D，∠CED＝∠AHD＝90°，

∴△CED∽△AHD，

∴，

∴，

∴AH＝2，

∵AB∥CD，BC⊥CD，

∴∠B＝∠BCH＝∠AHC＝90°，

∴四边形AHCB是矩形，

∴BC＝AH＝2．

（3）①如图1﹣1中，当0≤x≤3时，重叠部分是四边形MNE′D′．

y＝S△E′C′D′﹣S△MNC′＝4﹣＝4﹣x2．

②如图1﹣2中，当3＜x≤4时，重叠部分是五边形AD′MNH，

y＝S△E′C′D′﹣S△MNC′﹣S△E′AH＝4﹣﹣•（x﹣5）×2（x﹣5）＝4﹣x2﹣（x﹣5）2＝﹣x2+10x﹣21．

综上所述，y＝．