Question

阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，在三角形内取一点D，AD＝AC，∠CAD＝30°，求∠ADB．

小明通过探究发现，∠DAB＝∠DCB＝15°，BC＝AD，这样就具备了一边一角的图形特征，他果断延长CD至点E，使CE＝AB，连接EB，造出全等三角形，使问题得到解决．

（1）按照小明思路完成解答，求∠ADB；

（2）参考小明思考问题的方法，解答下列问题：

如图2，△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别为BC、AC、AB上一点，连接DE，延长FE、DF分别交BC、CA延长线于点G、H，若∠DHC＝∠EDG＝2∠G．

①在图中找出与∠DEC相等的角，并加以证明；

②若BG＝kCD，猜想DE与DG的数量关系并证明．

Answer

（1）135°;（2）①∠HDC＝∠DEC;②猜想DG＝kDE.

【解析】

（1）根据辅助线证得△DAB≌△BCE，则∠ADB＝∠CBE（还不能直接求得，考虑全等的其他等边等角），∠ABD＝∠E，BD＝BE，得到∠BDE＝∠E＝∠ABD．考虑引入未知数，设∠CBD＝x，则∠E＝∠ABD＝∠BDE＝x+15°，利用∠ABC＝∠ABD+∠CBD求得x，再由周角求得结果．

（2）①∠DEC是△DEH的外角，等于∠DHC+∠HDE，而∠DHC＝∠EDG，等量代换得∠DEC＝∠EDG+∠HDE＝∠HDC．

②由条件DHC＝∠EDG＝2∠G，在FG上方构造2∠G即∠FGM＝∠FGD，则∠EDG＝∠MGD，令M落在BA延长线上，加上∠B＝∠ACB，即得△BGM∽△CDE，有=k．又通过三角形内角和求得∠M＝∠HDC，证得△MFG≌△DFG，有MG＝DG，得证．

（1）延长CD至点E，使CE＝AB，连接EB

∵，∠ACB＝90°，AC＝BC

∴∠CAB＝∠CBA＝45°

∵AD＝AC，∠CAD＝30°

∴BC＝AD，∠ACD＝∠ADC＝＝75°，∠DAB＝∠CAB﹣∠CAD＝15°

∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝15°

即∠DAB＝∠BCD

在△DAB与△BCE中，

∴△DAB≌△BCE（SAS）

∴∠ADB＝∠CBE，∠ABD＝∠E，BD＝BE

∴∠BDE＝∠E

设∠CBD＝x，则∠ABD＝45°﹣x，∠BDE＝∠BCD+∠CBD＝15°+x

∴∠ABD＝∠E＝∠BDE＝15°+x

∵∠ABC＝∠ABD+∠CBD

∴45°＝15°+x+x，得：x＝15°

∴∠CDB＝180°﹣∠BCD﹣∠CBD＝180°﹣15°﹣15°＝150°

∴∠ADB＝360°﹣∠ADC﹣∠CDB＝360°﹣75°﹣150°＝135°

（2）①∠HDC＝∠DEC，证明如下：

∵∠DHC＝∠EDG

∴∠HDC＝∠HDE+∠EDG＝∠HDE+∠DHC＝∠DEC

∴∠HDC＝∠DEC

②猜想DG＝kDE，证明如下：

在FG的上方作∠FGM＝∠FGD，使∠FGM的一边与BA延长线交于M

∵∠DHC＝∠EDG＝2∠FGD

∴∠DHC＝∠EDG＝∠MGD

∵AB＝AC

∴∠B＝∠ACB

∴∠M＝180°﹣∠B﹣∠MGD＝180°﹣∠ACB﹣∠EDC＝∠DEC

∴∠M＝∠HDC

在△MFG与△DFG中，

∴△MFG≌△DFG（AAS）

∴MG＝DG

∵∠B＝∠ACB，∠EDG＝∠MGD

∴△BGM∽△CDE

∴

∵BG＝kCD

∴=K

∴DG＝MG＝kDE