Question

如图1，D是⊙O的直径BC上的一点，过D作DE⊥BC交⊙O于E、N，F是⊙O上的一点，过F的直线分别与CB、DE的延长线相交于A、P，连结CF交PD于M，∠C＝∠P．

（1）求证：PA是⊙O的切线；

（2）若∠A＝30°，⊙O的半径为4，DM＝1，求PM的长；

（3）如图2，在（2）的条件下，连结BF、BM；在线段DN上有一点H，并且以H、D、C为顶点的三角形与△BFM相似，求DH的长度．

Answer

（1）证明见解析；（2）PM＝4﹣2；（3）满足条件的DH的值为 或．

【解析】

（1）如图1中，作PH⊥FM于H．想办法证明∠PFH=∠PMH，∠C=∠OFC，再根据等角的余角相等即可解决问题；

（2）解直角三角形求出AD，PD即可解决问题；

（3）分两种情形①当△CDH∽△BFM时，．

②当△CDH∽△MFB时，，分别构建方程即可解决问题；

（1）证明：如图1中，作PH⊥FM于H．

∵PD⊥AC，∴∠PHM＝∠CDM＝90°，∵∠PMH＝∠DMC，∴∠C＝∠MPH，

∵∠C＝∠FPM，∴∠HPF＝∠HPM，

∵∠HFP+∠HPF＝90°，∠HMP+∠HPM＝90°，∴∠PFH＝∠PMH，

∵OF＝OC，∴∠C＝∠OFC，

∵∠C+∠CMD＝∠C+∠PMF＝∠C+∠PFH＝90°，

∴∠OFC+∠PFC＝90°，∴∠OFP＝90°，

∴直线PA是⊙O的切线．

（2）【解析】
如图1中，∵∠A＝30°，∠AFO＝90°，∴∠AOF＝60°，

∵∠AOF＝∠OFC+∠OCF，∠OFC＝∠OCF，∴∠C＝30°，

∵⊙O的半径为4，DM＝1，

∴OA＝2OF＝8，CD＝DM＝ ，

∴OD＝OC﹣CD＝4﹣ ，

∴AD＝OA+OD＝8+4﹣ ＝12﹣ ，

在Rt△ADP中，

DP＝AD•tan30°＝（12﹣ ）× ＝4 ﹣1，

∴PM＝PD﹣DM＝4 ﹣2．

（3）如图2中，

由（2）可知：BF＝BC＝4，FM＝BF＝4 ，CM＝2DM＝2，CD＝ ，

∴FM＝FC﹣CM＝4﹣2，

①当△CDH∽△BFM时， ，

∴ ，∴DH＝

②当△CDH∽△MFB时，，

∴ ，∴DH＝ ，

∵DN＝ ，

∴DH＜DN，符合题意，

综上所述，满足条件的DH的值为 或．