Question

阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若AB=6，AF=4EF，求CG的值与∠AFB的度数．

他的做法是：过点E作EH∥AB交BG于点H，得到△BAF∽△HEF（如图2）．

（1）CG等于多少，∠AFB等于多少度；

参考小明思考问题的方法，解决下列问题；

（2）如图3，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若AF=3EF，求的值；

（3）如图4，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，BF和DE相交于点G，且AB=kAD，∠DAG=∠BAC，求出的值（用含k的式子表示）

   

Answer

（1）CG=3，∠AFB=90°；（2）；（3）．

【解析】

（1）过点E作EH∥CD交BG于点H，根据正方形的性质和相似三角形的判定定理得到△EFH∽△AFB，根据相似三角形的性质得到CG=AB=3；

（2）仿照（1）的解答思路计算即可；

（3）延长AG交DC于M，延长DE交AB的延长线于N，根据相似三角形的判定定理和性质定理解答．

（1）过点E作EH∥CD交BG于点H，

∴△BEH∽△BCG，∴，

∵点E是边BC的中点，∴BC=2BE，∴CG=2HE，

∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，

∴EH∥AB，∴△EFH∽△AFB，

∴，∵AF=4EF，∴AB=4EH，

∴CG=AB=3，∵CD=6，∴CG=BE，

在△ABE和△BCG中，，

∴△ABE≌△BCG，∴∠BAE=∠CBG，

∵∠ABF+∠CBG=90°，∴∠BAE+∠ABF=90°，∴∠AFB=90°，

（2）如图3，同（1）方法得出，CG=2HE，

同（1）的方法得出，，

∵AF=3EF，∴AB=3EH，∴EH=AB，

∴CG=2EH=AB，∴；

（3）延长AG交DC于M，延长DE交AB的延长线于N，

∵∠DAG=∠BAC，∠ADM=∠ABC，

∴△ADM∽△ABC，∴=k，

∵点E是边BC的中点，∴，

∵DC∥AB，点E是边BC的中点，

∴AB=DC=BN，∵DC∥AB，

∴，，

∴，又AB=AN，

∴DF=DM，又，

∴．