Question

已知：如图，平分，且，D为延长线上的一点，，过D作，垂足为G．下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（　　）

A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④

Answer

D

【解析】

易证△ABE≌△DBC，可得∠BCD=∠BEA，AE=DC可得①②正确，再根据角平分线的性质可求得∠DAE=∠DCE，即AD=AE=DC，根据AD=AE=DC可求得④正确．

①∵BD为△ABC的角平分线，

∴∠ABD=∠CBD，

在△ABE和△DBC中，

，

∴△ABE≌△DBC（SAS），

∴①正确；

②∵BD为△ABC的角平分线，BE=BC，BD=BA，

∴∠BCE=∠BEC=∠BAD=∠BDA，

∵△ABE≌△DBC，

∴∠BCD=∠BEA，

∴∠BCD+∠BCE=∠BEA+∠BEC=180°，

∴②正确；

③∵∠BCD=∠BEA，∠BCD=∠BCE+∠DCE，∠BEA=∠DAE+∠BDA，∠BCE=∠BDA，

∴∠DCE=∠DAE，

∴△ACD为等腰三角形，

∴AD=DC，

∵△ABE≌△DBC，

∴AE=DC，

∴AD=AE=DC，

∴③正确；

④过D作DF⊥BC于F点，

∵D是BE上的点，∴DG=DF，

在Rt△BDF和Rt△BDG中，

，

∴Rt△BDF≌Rt△BDG（HL），

∴BF=BG，

在Rt△CDF和Rt△AGD中，

，

∴Rt△CDF≌Rt△AGD（HL），

∴AG=CF，

∴BA+BC=BG+GA+BF-CF=BG+BF=2BG，

∴④正确．

故选D．