Question

如图，画，并画的平分线．

（1）将三角尺的直角顶点落在的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与的两边分别垂直，垂足为E、F（如图1），则　   　（选填＜，＞，＝）

（2）把三角尺绕着点P旋转（如图2），与相等吗？试猜想、的大小关系，并说明理由．

拓展延伸1：在（2）条件下，过点P作直线，分别交、于点G、H，如图3

①图中全等三角形有多少对（不添加辅助线）

②猜想、、之间的关系，并证明你的猜想．

拓展延伸2：

画，并画的平分线，在上任取一点P，作．的两边分别与、相交于E、F两点（如图4），与相等吗？请说明理由．

Answer

（1）＝；（2），理由见解析；拓展延伸1：①全等三角形有3对；②，理由见解析；拓展延伸2：；理由见解析；

【解析】

（1）根据角平分线的性质定理证明；

（2）证明△MPE≌△NPF，根据全等三角形的性质证明结论；

拓展延伸1：①根据等腰直角三角形的性质得到OP=PG=PH，证明△GPE≌△OPF（ASA），△EPO≌△FPH，△GPO≌△OPH，得到答案；

②根据勾股定理，全等三角形的性质解答；

拓展延伸2：作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H，证明△PGE≌△PHF，根据全等三角形的性质证明结论．

（1）∵平分，

∴，

故答案为：＝；

（2），

理由如下：∵，

∴，

由（1）得，，

在和中，

，

∴，

∴；

拓展延伸1：①∵平分，

∴，

∵GH⊥OC，

∴，

∴，

∵，

∴，

在和中，

，

∴，

同理，，

故答案为：3；

②，

理由如下：∵，

∴，

∵，

∴，

在中，，

∴；

拓展延伸2：；

理由：作于G，于H，

∵平分，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

在和中，

，

∴，

∴．