Question

如图，在中，.点在上，点在的延长线上，连接FD并延长交BC于点E，若∠BED=2∠ADC，AF=2，DF=7，则的面积为______．

Answer

【解析】

作CD的垂直平分线交AD于M，交CD与N，根据垂直平分线的性质可得MC=MD，进而可得∠MDC=∠MCD，根据已知及外角性质可得∠AMC=∠BED，由等腰直角三角形的性质可得∠B=∠CAB=45°，根据三角形内角和定理可得∠ACM=∠BDE，进而可证明∠ADF=∠ACM，进而即可证明∠FCD=∠FDC，根据等腰三角形的性质可得CF=DF，根据已知可求出AC的长，根据三角形面积公式即可得答案.

作CD的垂直平分线交AD于M，交CD与N，

∵MN是CD的垂直平分线，

∴MC=MD，

∴∠MDC=∠MCD，

∵∠AMC=∠MDC=∠MCD，

∴∠AMC=2∠ADC，

∵∠BED=2∠ADC，

∴∠AMC=∠BED，

∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠B=∠CAB=45°，

∵∠ACM=180°-∠CAM-∠AMC，∠BDE=180°-∠B-∠BED，

∴∠ACM=∠BDE，

∵∠BDE=∠ADF，

∴∠ADF=∠ACM，

∴∠ADF+∠ADC=∠ACM+∠MCD，即∠FCD=∠FDC，

∴FC=FD，

∵AF=2，FD=7，

∴AC=FC-AF=7-2=5，

∴S△ABC=×5×5=.

故答案为：