Question

在中，分别是边上的点，和交于点，且.

（1）如图，求证：；

（2）如图，过点作，交于点 ，求证；

（3）如图，在（2）的条件下，，求线段的长.

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）.

【解析】

（1）根据三角形内角和定理可得∠ECF+∠CFE+∠CEF=180°，，由且是公共角即可证明（2）根据锐角互余的关系可得，根据及外角性质可得∠CAB=∠CGA，进而可得AC=CG；（3）过点作交的延长线于点，过点分别作于点，于点，根据等腰直角三角形的性质可得进而可得AG=2MC，由∠HAB=90°，∠CAB=45°可得平分，由可得CM=CN，根据四边形内角和及平角的定义可得，利用AAS可证明△HNC≌△CMD，即可证明CD=CH，根据已知即可证明AE=HE，根据（1）得，由可得∠AEC=∠H，可得AE=AH，进而可得，在中，可得∠B=30°，根据含30°角的直角三角形性质可知，根据面积公式可得，即可求出CM的值，进而根据可得BC的长.

（1）在中，∠ECF+∠CFE+∠CEF=180°，

在中，

且是公共角

∴∠CEF=∠CDB

即

（2），

∴∠DCB=∠ACG=90°，

∴

即

∵∠ACD+∠B=∠CAB，

∴∠GCB+∠B=∠CAB，

∵∠CGA=∠GCB+∠B，

∴∠CAB=∠CGA，

∴AC=GC

（3）如图，过点作交的延长线于点，过点分别作于点，于点

且

∴∠CAG=∠CGA=45°，，

∴，

∴

∴

∵

∴，

∵∠CAG=45°，

∴∠CAH=∠CAG，

平分，

∵，

∴，

∵，

∴，

在四边形中，，

∴，

∵，

∴，

又，，，

∴，

∴AE=AH，

∵，CM=CN，∠HNC=∠CMD，

∴△HNC≌△CMD，

∴CD=CH，

∵CE+CD=AE，

∴CE+CH=AE=EH

∴AE=EH=HA，

∴∠H=60°，

在中，

∴∠B=30°，

在中，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴.