Question

（1）探究：如图1和2，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF＝45°．

①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，则能证得EF＝BE+DF，请写出推理过程；

②如图2，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系　   　时，仍有EF＝BE+DF；

（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°．若BD＝1，求DE的长．

Answer

（1）①理由详见解析；②∠B+∠ADC=180°；（2）．

【解析】

试题分析: （1）①根据旋转的性质得出AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，求出∠EAF＝∠GAF＝45°，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案；

②根据旋转的性质得出AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，求出C、D、G在一条直线上，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案；

（2）根据等腰直角三角形性质好勾股定理求出∠ABC＝∠C＝45°，BC＝4，根据旋转的性质得出AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，求出∠FAD＝∠DAE＝45°，证△FAD≌△EAD，根据全等得出DF＝DE，设DE＝x，则DF＝x，BF＝CE＝3−x，根据勾股定理得出方程，求出x即可．

试题解析:

（1）①如图1，∵AB=AD，

∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，∵∠ADC=∠B=90°，

∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，

则∠DAG=∠BAE，AE=AG,

∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°-45°=45°=∠EAF，

即∠EAF=∠FAG，

在△EAF和△GAF中，,

∴△AFG≌△AFE（SAS），

∴EF=FG=BE+DF；

②当∠B+∠ADC=180°时，EF=BE+DF；

把△ACE旋转到ABF的位置，连接DF，则∠FAB=∠CAE.

∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，

∴∠BAD+∠CAE=45°，

又∵∠FAB=∠CAE，

∴∠FAD=∠DAE=45°，

则在△ADF和△ADE中，,

∴△ADF≌△ADE，

∴DF=DE，∠C=∠ABF=45°，

∴∠BDF=90°，

∴△BDF是直角三角形

∴

∴

∵∠BAC=90°，AB=AC=，

∴BC=4，

∵BD=1，

∴DC=3,EC=3-DE，

∴,

解得：DE=