Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的边AD在x轴上，点C在y轴的负半轴上，直线BC∥AD，且BC＝3，OD＝2，将经过A、B两点的直线l：y＝﹣2x﹣10向右平移，平移后的直线与x轴交于点E，与直线BC交于点F，设AE的长为t（t≥0）．

（1）四边形ABCD的面积为　   　；（提示：小学已学过梯形面积计算方法）

（2）设四边形ABCD被直线l扫过的面积（阴影部分）为S，请写出S关于t的函数解析式．

Answer

（1）20，（2）.

【解析】

（1）根据函数解析式得到OA＝5，求得AC＝7，得到OC＝4，于是得到结论；

（2）①当0≤t≤3时，根据已知条件得到四边形ABFE是平行四边形，于是得到S＝AE•OC＝4t；②当3≤t＜7时，如图1，求得直线CD的解析式为：y＝2x﹣4，直线E′F′的解析式为：y＝﹣2x+2t﹣10，解方程组得到G（，t﹣7），于是得到S＝S四边形ABCD﹣S△DE′G＝20﹣×（7﹣t）×（7﹣t）＝﹣t2+7t﹣，③当t≥7时，S＝S四边形ABCD＝20，

（1）在y＝﹣2x﹣10中，当y＝0时，x＝﹣5，

∴A（﹣5，0），

∴OA＝5，

∴AD＝7，

把x＝﹣3代入y＝﹣2x﹣10得，y＝﹣4，

∴OC＝4，

∴四边形ABCD的面积＝（3+7）×4＝20；

故答案为：20；

（2）①当0≤t≤3时，∵BC∥AD，AB∥EF，

∴四边形ABFE是平行四边形，

∴S＝AE•OC＝4t；

②当3≤t＜7时，如图

，

∵C（0，﹣4），D（2，0），

∴直线CD的解析式为：y＝2x﹣4，

∵E′F′∥AB，BF′∥AE′，

∴BF′＝AE＝t，

∴F′（t﹣3，﹣4），

直线E′F′的解析式为：y＝﹣2x+2t﹣10，

解得，，

∴G（，t﹣7），

∴S＝S四边形ABCD﹣S△DE′G＝20﹣×（7﹣t）×（7﹣t）＝﹣t2+7t﹣，

③当t≥7时，S＝S四边形ABCD＝20，

综上所述：S关于t的函数解析式为：．